行政秒杀：余数的特征与运用.doc

行政秒杀：余数的特征与运用余数问题核心基础公式：余数基木关系式：被除数一除数二商……余数（0W余数＜除数）余数基本恒等式：被除数二除数X商+余数同余问题核心口诀“余同加余，和同加和，差同减差，除数最小公倍数作周期”1、 余同：用一个数除以儿个不同的数，得到的余数相同，此时该数可以选这个 相同的余数，余同取余例：“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”，则取1,表示为60n+lo2、 和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同，此时该数 可以选这个相同的和数，和同加和例：“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”，则収7,表示为60n+7o3、 差同：用一个数除以儿个不同的数，得到的余数和除数的差相同，此时该数 可以选除数的最小公倍数减去这个和同的羌数，差同减差例：“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”，则取・3,表示为60n-3o一、 余数等式的应用余数关系式：被除数一除数=商…余数由此关系式可以演变出两个有关余数的基木考点：（1）在余数问题中，余数 的范围是（0W余数真题一：四位数5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数A. 80 B. 79 C. 64 D. 67【答案及解析】本题答案选B。

此题涉及余数问题的两个基本考点，可以借助 排除法和代入法来快速求出结果根据考点（1）,可知这个两位数一定大于66, 故答案C排除；根据考点（2）5122-66 = 5056,这个结果应该是这个两位数的整 数倍，将其余3个选项带入，发现只有B符合故答案选B二、 同余定理的考察定理证明：假设正整数A分别被5、6、7去除，余数为以下儿种情况，求A的值1）余数均为lo则可知：（A—1）能同时被5、6、7整除,因此（A-1）可以 表示为5、6、7的公倍数210n,所以A=210n + l；由此可以总结：若被除数一 样，且余数也一样，则“被除数=除数的公倍数+余数”2) 余数分别为3、2、1则可知：(A-3)是5的倍数，(A-3-5)仍然是5 的倍数，故(A-8)是5的倍数；同理(A-8)也是6和7的倍数，所以A = 210n + 8；曲此可以总结：若被除数一样，且除数和余数的和一样，则“被除数=除数 的公倍数+(除数+余数)”3) 余数分别为1、2、3则可知：(A-1)是5的倍数，(A-1 + 5)仍然是5 的倍数，故(A + 4)是5的倍数；同理(A + 4)也是6和7的倍数，所以A = 210n- 4；由此可以总结：若被除数一样，且除数和余数的差一样，则“被除数=除数 的公倍数一(除数一余数)”。

根据以上证明出來的结论，下面我们结合一些公考(微博)真题來进行练习 真题二：自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9, P除以9的余数为8, P 除以8的余数为7如果:100A.不存在 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案及解析】本题答案选C因为题干中各除数和余数的弟均为1,且8、9、 10的最小公倍数是360根据上述结论(3)可知P=360n-l,因此在100和1000 之间P可以取两个值：当n = l时，P为359；当n=2时，P为719真题三：学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间如果排成3排则不 多不少；排成5排则少2人；排成7排则少4人；则学生人数是多少人？( )2009 年江西真题A. 102 B. 98 C. 104 D. 108【答案及解析】木题答案选Do木题属于余数相关问题由“排成5排则少2人, 排成7排则少4人”；相当于“排成5排则多3人，排成7排则多3人”根据上 述结论(1),人数可以表示为：35n + 3,因为90W35n + 3W110,解得：n = 3o 学生人数是35X3 + 3 = 108三、相关问题的延伸有时候，一些试题并非以余数的面目出现，但是我们可以将之转化为余数问 题来求解。

真题四：三个字母“A、13、C”和六个文字“行测数学运算”分别依次循环出现, 一个字母和一个文字对应一组，见下表：上表中第1组为（A,行），则第89组是什么？（）Ao （A,测）Bo （B,数）Co （C,学）Do （B,运）【答案与解析】木题答案选D如果按照上面的方法一个个排列出来，显然很 费时，考虑到每组都是一个字母和一个文字组成的，而且字母是每3个为一组， 文字是每6个为一组，因此可以用除法运算的余数來求解89^3 = 29-2, 89 4-6 = 14-5,所以第89组字母为B,文字为运例1、两个整数相除，商是5,余数是11,被除数、除数、商及余数的和是99, 求被除数是多少？A. 12 B. 41C. 67 D. 71例2、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8问被除数、除数、 商以及余数Z和是多少？A、98 13、107C、 114 D、 125例3、自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9, P除以9的余数为8, P 除以8的余数为7如果:100

问这堆苹杲的个数最少为（）A. 31B. 10C. 231).41例7：（北京社招2006-14）两个整数相除，商是5,余数是11,被除数、除数、 商及余数的和是99,求被除数是多少？（）A. 12 B. 41 C. 67 D. 71例8：（浙江二类2007-21）小张在做一道除法时，课将除数45看成54,结杲得到的商是3,余数是7问正确的商和余数之和是（）oA. 11 B. 18 C. 26 D. 37例9：（北京2007应届-11）-个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8问被除数、除数、商以及余数Z和是多少？（）A. 98 B. 107 C. 114 D. 125例10：（陕西2008-6） 一个三位数除以43,商是a,余数是b,则a+b的最大 值是（）A. 957 B. 64 C. 56 D. 33例11：（国家2006 -类-50、二类-34） —个三位数除以9余7,除以5余2,除 以4余3,这样的三位数共有（）A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个例12：南岗中学每一位校长都是任职一届，一届任期三年，那么在8年期间南 岗中学最多可能有几位校长？（）A. 2 B.3 C.4 D. 5例13: —个三位数除以9余7,除以5余2, 4余3,这样的三位数共有（）。

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个例14:一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,则这个数可以表示为？一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,则这个数可以表示为？一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,则这个数可以表示为？ 自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9, P除以9的余数为8, P除 以8的余数为7如果：IOOvPvIOOO,则这样的P有几个？A.不存在B. 1个 C. 2个 D. 3个例15:若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8 人则有一间只有4人住，问共有多少名学生？（）A. 30 人 B. 34 人 C.40 人 D. 44 人例16:若干个同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则有4个空位（每条船空一个位置），共有多少个同学？（）A. 17 B. 19 C. 26 D.4I例17:有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母；若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母共有多少个螺丝？A、16 B、22 C、42 D、48例18:某年级组织一次春游，租船游湖，若每条船乘10人，则还有2人无座位; 若每条船乘12人，则可少用一船，且人员刚好坐满，这时每人可节省5角钱。

问租一条船需要多少钱？（）A. 9 元 B.24 元 C. 30 元 D. 36 元例19:100张多米诺骨牌整齐地排成一列，依顺序编号为1、2、3、……99、100 第一次拿走所有奇数位置上的骨牌，第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上 的骨牌，依此类推请问最后剩下的一张骨牌的编号是多少？A. 32 B.64 C. 88 D. 96。