13.4课题学习-最短路径问题（二）.doc

1 无为县第三中学电子备课教学设计 教学内容教学内容13.4 课题学习 最短路径问题 2---造桥选址问题 知识与技能：知识与技能：能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题,体会图形的变化 在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 过程与方法：过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问 题的能力及渗透数学建模的思想. 教学目标教学目标 情感、态度与价值观：情感、态度与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题 的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 教学重点教学重点利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题 教学难点教学难点如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段和最小问题. 教学准备教学准备 课时安排课时安排1 课时 第一课时 课时目标课时目标解决造桥选址问题 教学过程教学过程 创设情景创设情景,引入课题引入课题 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一 点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学 史中著名的“造桥选址问题”. 问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问1 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B' 吗? 追问2 如上图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的差最小? 如图 2：小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村 供水． (1)若要使厂部到 A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到 A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处, 请画出旅游船的最短路径. 2 无为县第三中学电子备课教学设计 基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船 最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在 直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”. 探究探究1 1 造桥选址问题造桥选址问题 如图，从 A 地到 B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两 岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从 A 地到 B 地的路程最短？ 思路导引：从 A 到 B 要走的路线是 A→M→N→B，如图所示，而 MN 是 定值，于是要使路程最短，只要 AM＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平 行方向上，平移 MN 到 AC，从 C 到 B 应是余下的路程，连接 BC 的线段即为 最短的，此时不难说明点 N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥． 解：解：(1)如图 2，过点 A 作 AC 垂直于河岸，且使 AC 等于河宽． (2)连接 BC 与河岸的一边交于点 N. (3)过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸于点M. 则 MN 为所建的桥的位置． 探究探究 2无为三中八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中 的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学 生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路 线，使其所走的总路程最短？ 探究探究 3 如图所示，A，B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一点 C，使点 C 到点 A、B 的距离之差最大． 分析：分析：此题的突破点是作点 A(或 B)关于直线 l 的对称点 A′(或 B′)，作 直线 A′B(AB′)与直线 l 交于点 C，把问题转化为三角形任意两边之差小于 第三边来解决． 解：解：如图所示，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直线 l 的对称点 3 无为县第三中学电子备课教学设计 A′，A′B 的连线交 l 于点 C，则点 C 即为所求．理由：在直线 l 上任找一点 C′(异于点 C)，连接 CA，C′A，C′A′，C′B.因为点 A，A′关于直线 l 对称，所以 l 为线段 AA′的垂直平分线，则有 CA＝CA′，所以 CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点 C′在 l 上，所以 C′A＝C′A′.在△ A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以 C′A′－C′B＜CA－CB. 点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值 问题是常用的一种方法． 反思小结反思小结 (1)本节课研究问题的基本过程是什么? (2)轴对称在所研究问题中起什么作用? 解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法? 你还有哪些收获? 安全提示安全提示放学了，请同学们注意交通安全 练习设计练习设计 如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别 建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸 垂直) 板书设计板书设计 13.4 课题学习 最短路径问题 2---造桥选址问题 创设情景 引入课题 探究探究1 1 造桥选址问题造桥选址问题 探究探究2 探究探究3 反思小结反思小结 。