一类kirchhoff方程初边值问题的摄动解分析.pdf

北京化工大学 硕士学位论文 一类Kirchhoff方程初边值问题的摄动解分析 姓名：粟端 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：江新华 20100526 摘要 一类K i r h h o f f 方程初边值问题的摄动解分析 摘要 长期以来，多重尺度法被广泛应用于求解奇异撮动I 司题的渐近解本 文讨论了K i r c h h o f f 方程 旷％= 占( 肛出k 在初值条件u ( x ，o ) = 9 ( x ) ，坼( x ，o ) = 少( x ) 和第一齐次边值条件下的初边值问题 我们首先利用能量方法得到上述问题的解的估计，从而得到如下结论：存 在正实数氏，当O o ， 当 o ，存 在正实数‰，当o ≤x ≤1 ，o s C t ≤T ，且o O ，以及依赖于‰和T 的 正实数c ( 毛，T ) ，当o ≤占≤岛，o ≤反≤T 时，满足 y ( f ) ≤s c ( 氏，T ) 按照引理1 ．2 的证明方法，可以得到引理1 ．27 如下 引理1 ．27 ：对任意的t ≥0 和g ≥0 ，若成立 训邪叫1 + f 阻) + y ( 妒p ) 其中B 为给定的J 下常数，则对任意给定丁 0 ，存在常数氏 o ，以及依赖于岛和T 的 正实数c ( 氏，T ) ，当0 ≤g ≤‰，0 ≤6 t ≤T 时，满足 】，( f ) ≤s c ( ‰，T ) 引理1 ．3 ( Y 。

u n g 不等式) 设p 1 ，一1 + 一1 ：1 ，则口，6 ≥0 ，必有 pq 口．6 ≤笙+ 丝 P q 北京化| T 人学顾I ：学位论文 当a p = b q 时上式中的等号成立 1 ．3 主要结论 定理1 ：存在‰ o ，当0 嚷s + 2 ‰s + 2 ，卯7 c”1 、，| I “ Ⅳ∑删 壁№ + 北京化工人学硕一l ：学位论文 + 百k ．兀3 蠹N 朋2 { ( 阿瓦‰韧+ ≤B m 2 t —l + 2 ( 同理可知 f 以 s ) s i n ( 枷) 出 = 去f { 警啪) + 卜善N 肛T 舢_ 2 ：s 2 二k T t _ _ S d 土 5 1 2q s + 2 加 c o k 6 - 2 c o , ．6 - 2 m n ：l 既( o ) I + ·l o o k 6 - 2 0 9 1 ．6 - 2 m n ] J 、h 拥( o ) | } 十 【o ) | 『 ∽] 竽孙) ) s i n ( 船) 出 [ 吼( - 一C 0 s ( 咄甜+ 2 加r ) ) + 惫s t n ( 纨甜+ 2 艋，) ，] 一譬[ 小c o s ( 酬+ 扣( 酬 ( 3 ．3 9 ) 一占等纠刮艺％等器产一号舞篆竽l 划。

) l 毪芸群+ ％黜| } 吖等纠引) l 号笺群一号监筹竽l 嘲) 1 ％譬群一％等l } If ^ s ) s i n ( 枷) 山I ≤s ( k T l ：3 d k s 丽+ ，] 鲁㈨+铷 + 等薹所2 [ 21 雨而+ 石赤丽k o ) | ∑m 2 ，”= l 朋≠七 ≤F 肌2 t + ( [ 2 ( 第三章K i r c h h o f f 方程有限维摄动解的分析 —1 c o k e “ + 2 C O m O e + —2 ( k + m ) n + 面i 赤i 赢] l k’q F + 2 ‰占+ 2 聊7 【厂枷 + ( 2 Ⅳ 不妨E M ：( i v ) = E m I ，由( 3 —3 9 ) - ( 3 —4 0 ) k = l 陋∽巾) 小( ∑ k = l ∑ 七= I 眦小) c o s ( 枷) 出 一2 m n l I 七 ㈣I ] 弧( o ) l - 2 m x I灿，I ] } [ 1 弘( s ) c s ( 枷) 出I + l 拟( 灿( 施) 出口 2 Ⅳ ≤占∑％= s M ：( N ) k = l 由X o 1 ( s ) 及g ( s ，l ，( J ) ) 的表达式可得 瞰蝴州) l | ：= ㈤ 因为 ∑ 正；l { N ：ly L 智 ( s ，l ，( s ) ) 去五如l ，( s ) ) c 。

s ( 舾) 2 + 去五如y ( s ) ) s i n ．- k 兰n 一，，k ，，( s ，y ( s ) ) 1 2 ] j ≤兰k = ll j 三i 五，，( s ，y ( s ) ) ∑ k = l 聊2 乙．o( s ) 如( S ) ( 3 ．4 0 ) ( 3 ．4 1 ) m 2 《( J ) + R ( s ) 艺聊2 [ 乙， s ) + 如( J ) - 1 2 易知，存在『F 实数m k ( k = l ，2 ，⋯，N ) ，使得 2 3 m = I 壁M } l 一2 、●●●●，／ 1●●●j Jd枷nS 、l ， S 得 ∽ 形r 由 盯 + 一工 晓 Ⅳ∑删 、I ，， S ／J _ l 、O瓦 2 生2 = 磊 三概 Ⅳ∑删 、l ， S ，-、 O瓦 + 北京化T 人学硕．1 ：学位论文 又因为当k = 1 ，2 ，⋯，N 时 故 若记 瞰荆刘+ 阱脚 R ( 洲州州‰( J ) 睡幽k = l 酬2 知酬i ： 忪1 ( s ) j g r ( 皑( 洲： IN N 1 N^ r ． s F 兀3 { ∑砌∑七2 ％i R ( J ) f + 吉∑慨∑七2 I R ( s ) 1 2 L 七= l 七= l二盂= I七= l + 三善尼I R ( s ) J 羔七2 ( 研 ( J ) | + I R k ( + 2 m kl 恁 J ) 1 2 ) } k + 吉∑尼I R ( s ) J ∑七2 《研 ( J ) | + J ) 1 2 ) } ‘女= I= i 、 ’J ，( Ⅳ) - 兀3 N ：孵+ 辛麻，- 糍- f fi 2 j r n j + 2 套2 J ‘m i M m a x i2jmi,j=li j = ll , j = l堞i , j = l 力} ，( Ⅳ) = 兀3： 孵+ 寺∑f 2 麻，～一I ，寺∑f 2 ／} 二 - ＼ f ，，= l 一，二I 由上式可得 K 1 ( J ) g ( 廿( 洲：≤c M 。

Ⅳ) { | l y ( 呲+ I I y ( 跏+ ㈧州) ( 3 - 4 2 ) 将( 3 ，4 1 ) 、( 3 ．4 2 ) 代入( 3 ．3 7 ) 式，并记 则有 M N ) = m a x { M Ⅳ) + M ：( Ⅳ) ，M ，( Ⅳ) } l i t ( 眺≤占M Ⅳ) [ ·+ 肛( 呲+ №) ㈣№) 峥] ( 3 - 4 3 ) 由1 ．2 ．3 中引理1 ．2 可知，对于非线性G r o n w a l l 不等式( 3 —4 3 ) ，给定任意的T 0 ， 存在常数岛 0 ，以及依赖于氏和T 的正实数肘( 岛，T ) ，当0 s ≤‰，0 ≤6 t ≤T 时， 满足 又因为 故 I I Y ( t ) l l ：≤占M ( ‰，T ) R ( r ) I = 阪一 t ) l ≤I I Y ( 0 U ： R k ( f ) l 0 ，当0 ≤甜s r ， R o s ≤毛时，原问题( 1 - 3 ) 一( 1 - 5 ) 的精确解“( x ，t ；e ) 与‰( x ，f ；F ) 之间的误差尺( f ；s ) 第三章K i r c h h o f f 方程有限维摄动解的分析 满足 记 则 l ^ ， 尺( 啪) l = l ∑R ( t ；6 ) s i n ( k 默) l k = l NN ≤∑l R ( f ；F ) | - I s i n ( 概) l ∑I R ( f ；s ) I 占删( 氏，丁) ( 3 ·4 6 ) k = lk = l 综上，定理2 得证。

M ( s o ，T ，N ) = N M ( s o ，T ) 尺( f ；g ) I ≤棚( 岛，丁，Ⅳ) 第四章K i r c h h o f f 方程无穷维摄动解的分析 第四章K i r c h h o f f 方程初边值问题的无穷维摄动解的分析 4 ．1 求解近似解的首项 且 对于问题( 1 ．3 ) ．( 1 ．5 ) ，若取定初始条件如下 缈( x ) = ∑咏s i I l ( 足兀x ) ，∥( x ) = ∑玩s i n ( h r x ) ( 4 ．1 ) 妒( x ) ∈C 7 ，沙( x ) ∈C 6 ( 4 —2 ) 由初始条件( 4 ．1 ) 可知，问题( 1 ．3 ) ．( 1 ．5 ) 存在如下形式的解 u ( x ，f ) = ∑互( t ) s i n ( k x x ) 将( 4 ．3 ) 式代入( 1 ．3 ) ．( 1 ．5 ) ，于是原问题等价于 丁d 2 T k ( t ) + ( 概) 2 瓦( r ) = 一丁C x 4 k 2 瓦( ，) 薹朋2 巧( t ) 互( ) = 吼，百d T k ～．u ) ．= ‰ 其中k = 1 ，2 ，⋯，o o 。

同样的，引入新的变量S = f ，f = E t ，并假设解的展开式为 瓦( t ；6 ) = ∑占‘瓦，，( 叩) ( 4 —3 ) ( 4 —4 ) ( 4 —5 ) ( 4 ．6 ) 将上式代入( 4 ．3 ) 式，可知原问题( 1 ．3 ) ．( 1 - 5 ) 的解的展开式及其首项分别为 u ( x ，f ；占) = ∑s7 瓦．小，f ) s i n ( 施) ‰( 工，f ．占) = ∑瓦， J ，r ) s i n ( k 戤) 七= l 按照3 ．1 节所示的方法，求解可得 其中 互， s ，f ) = 4 ， r ) c o s ( 枷) + 蛾， r ) s i n ( ／a t s ) A k , 0 ( r = a kc o s ( t a k f ) + 急s i n ( 峨丁) ， 2 7 反， f ) = - a ks i n ( a ，k f ) + 惫c s ( 魄r ) ( 4 ．7 ) ( 4 —8 ) 即 北京化工人学硕上学位论文 q 瑙o ( 0 ) 峨0 ( o 一2 + ( 射妒铋2 q 且由( 4 ．8 ) 式可知 “O + 2 ∑m 2 ％ m = i 瓦，。

f ；s ) = 吼c o s ( 细f + 略甜) + 急s i n ( 细f + 哝甜) ( 刈；s ) = ∑ 膏= I ( 4 ．9 ) [ 吼c s ( 加r + q 甜) + 惫s t n ( h r + 嗥∥) ] s i n ( 梳) c 4 - ， 由( 4 ．2 ) 所给的初始条件可知 进一步可知 由( 4 ．1 1 ) 、 铲 古) 忙 古) A k , o ( 巾 古) q = 古) ， 晰) = 古) 魄= 鄂2 气 魄2 百r 气 卧c o s ( 枷+ q 斛刮 = I 喜h [ 吼c o s ( 艋s = 》( 外陲 0 ：u o 舐2 ∑( 细) 2 量= l + 2 ∑ 口l = I ( 4 ．1 1 ) ( 4 ．1 2 ) 珑2 嘉) ] = o ( 尼) 件㈣ 巾惫s i n ( 枷+ 训] s i l l ( 概) + q r ) + 惫s ；n ( h s + 略r ) ] c o s ( 梳) I 古) I [ 侧鼬州+ 扣胁叫s i n c 概) | 善( 硝 古)七= I、、’～／ ∑ k = l ∑ k 兰l 古) l 西[ ‰c o s ( 枷+ 纯f ) + 急s ；n ( 枷+ 婊f ) ] s ；n ( 施) I 《。

抖 ∑ k = l 剖 2 8 0 = 4 - _ ／L ∑矧 第四章K i r c h h o f f 方程无穷维摄动解的分析 酌孙，时，级数州m = lk 去m 恼／，从而咧蚓、。