2013版高中数学全程学习方略配套课件：1.2.2解三角形的实际应用举例——高度、角度问题(人教A版必修5).ppt

思考】,【点拨】,测量高度问题【名师指津】解决测量高度问题的步骤：,【特别提醒】在解题中，要综合运用立体几何与平面几何知识，注意方程思想的运用.,【例1】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β, CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.【审题指导】先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数，再利用正弦定理求出BC的长，然后在Rt△ABC中求出AB，即塔高.,【规范解答】在△BCD中，∠BCD=α，∠BDC=β，∴∠CBD=180°-(α+β),在△ABC中，由于∠ABC=90°，,【变式训练】如图，A，B是水平面上两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角是25°，∠BAD=110°,又在点B测得∠ABD=40°,其中D点是点C在水平面上的垂足.求山高CD(精确到1 m).【解题提示】,【解析】在△ABD中，∠ADB=180°-110°-40°=30°,由正弦定理得 ≈1 028.5(m)，在Rt△ACD中，CD=ADtan25°≈480(m).答：山高约为480 m.,测量角度问题【名师指津】解决测量角度问题的注意点：(1)注意作图的准确性，通过积累、归纳，学会根据题目已知的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形.(2)注意数学思想方法的应用：①化归与转化思想，即将实际问题抽象概括，转化为解三角形的问题；,②方程思想，即在三角形中应用正、余弦定理列方程（组）求解；③函数思想，题目中涉及最值问题的往往需要考虑构建函数解析式求最值.【特别提醒】当一些题目的图形是空间立体图形时，除要作好图外，还要发挥空间想象能力.,【例2】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.【审题指导】解答本题的关键是设出相遇点，根据题意画出图形，标出有关数据并恰当选择有关定理解三角形.,【规范解答】设舰艇与渔船在B点相遇.如图，则AC=10海里，∠ACB=120°.设所需时间为t小时，则AB=21t海里，CB=9t海里,在△ABC中，根据余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°，即(21t)2=102+81t2+2×10×9t×整理得，36t2-9t-10=0，解得 （舍去）.,所以舰艇需要 小时靠近渔船.此时AB=14海里，CB=6海里，由正弦定理，得∴∠CAB≈21.8°，21.8°+45°=66.8°,∴舰艇的航向是北偏东约66.8°.,【变式训练】一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20海里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，到达N处，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度.【解题提示】解决此题，可以先求出∠NSM的度数，再利用正弦定理求解即可.,【解析】如图所示，∠SMN=15°+30°=45°，∠SNM=180°－45°－30°=105°，∴∠NSM=180°－45°－105°=30°.由正弦定理得速度 海里/小时.,【例】在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15°，俯角为30°的B处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45°，俯角为60°的C处.(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离.,【审题指导】解决此题，可根据题目中的已知角，在△ABC中，求出BC的长度，从而求出船的航行速度；作AD⊥BC于点D，船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离为PD.【规范解答】(1)如图所示，在Rt△PAB中，∠PBA=30°，∴同理，Rt△PCA中，在△ACB中，∠CAB=15°＋45°＝60°，,∴由余弦定理得∴ (km/h)，∴船的航行速度为 km/h.,(2)方法一:作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小.此时，∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 km.,方法二:由(1)知在△ACB中，由正弦定理作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小.此时，∴∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 km.,【变式备选】为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括：①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.,【解析】方案一：①需要测量的数据有：A点到M点，N点的俯角α1，β1，B点到M点，N点的俯角α2,β2；A，B的距离d（如图所示）.②第一步：计算AM.由正弦定理得第二步：计算AN.由正弦定理得第三步：计算MN.由余弦定理得,方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1,β1;B点到M，N点的俯角α2,β2;A，B的距离d（如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理得第二步：计算BN.由正弦定理得第三步：计算MN.由余弦定理得,【典例】（12分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值.【审题指导】根据题中的直角三角形，利用正切三角函数的定义求解即可.,【规范解答】 ………………2分同理: …………………………4分AD-AB=DB,故得 ………………… 6分解得: ………………10分因此，算出的电视塔的高度H是124 m.………………12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【即时训练】已知D、C、B三点在地面的同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（ ）(A) (B)(C) (D),【解析】选A.在△ADC中，∠DAC=α-β,∠ADC=β，DC=a,∴在Rt△ABC中,,1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是（ ）(A)α>β (B)α=β(C)α+β=90° (D)α+β=180°【解析】选B.作出示意图知α=β.,2.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°,且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为( )(A) (B)(C) (D),【解析】选A.设树的高度为h，由题意可知 在△ABP中，由正弦定理得，,3.如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要_______小时到达B处.,【解析】在△OBC中，由余弦定理，得CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos120°=100+400+200=700，∴CB= (海里),因此甲船到达B处需要的时间为 (小时).答案：,4.一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距______海里.【解析】画出示意图可知△ABC为等边三角形，所以A、C两地相距40海里.答案：40,5.如图所示，港口A北偏东30°方向的点C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31海里. 该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处，测得CD为21海里. 问此时轮船离港口A还有多少海里?,【解析】由已知得∠CAD=60°，在△BCD中，由余弦定理得故从而sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=在△ACD中，由正弦定理得于是 (海里)，即此时轮船离港口A还有15海里.,。