高二空间几何练习题（2022年整理）.pdf

1 练习练习 1 1 一、选择题： 1a、b 是两条异面直线，下列结论正确的是 （ ） A过不在a、b 上的任一点，可作一个平面与a、b 都平行 B过不在a、b 上的任一点，可作一条直线与a、b 都相交 C过不在a、b 上的任一点，可作一条直线与a、b 都平行 D过a可以且只可以作一个平面与 b 平行 2空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) 0 1 1或4 无法确定 3在正方体1111ABCDABC D中，M、N分别为棱1AA、1BB的中点，则异面直线CM和1D N 所成角的正弦值为 ( ) 19 23 4 59 2 59 4已知平面平面,m是内的一直线,n是内的一直线,且mn，则:m；n；m或n；m且n这四个结论中，不正确的三个是( ) 5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有 6 个顶点，则这个简单多面体的面数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 在北纬 45的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为 90，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为 R） ( ) A. R42 B. R3 C. R2 D. 3R 7. 直线l平面，直线 m平面，有下列四个命题： (1)ml / (2)ml / (3)ml / (4)/ ml 其中正确的命题是 ( ) A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4) 8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为，则下列不等式成立的是 ( ) A. 60 B. 46 C. 34 D. 23 9ABC中，9AB =，15AC =，120BAC=，ABC所在平面外一点P到点A、B、C的距离都是14，则P到平面的距离为 ( ) 7 9 11 13 10在一个45的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( ) 30 45 60 90 11. 如图,E, F 分别是正方形 SD1DD2的边 D1D,DD2的中点,沿 SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使 D1,D,D2重合,记作 D.给出下列位置关系: SD面 DEF; SE面 DEF; DFSE; EF面 SED, 其中成立的有: ( ) . 与 B. 与 C. 与 D. 与 2 12. 某地球仪的北纬 60 度圈的周长为 6cm,则地球仪的表面积为( ) A. 24cm2 B. 48cm2 C. 144cm2 D. 288cm2 二、填空题 13. 直二面角MN中，等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC，一直角边 AC，BC 与所成角的正弦值是46，则 AB 与所成角大小为_。

14. 在底面边长为 2 的正三棱锥 VABC 中,E 是 BC 中点,若VAE 的面积是41,则侧棱 VA 与底面所成角的大小为 15如图，已知矩形ABCD中，1AB=，BCa=，PA面 ABCD若在BC上只有一个点Q满足PD，则a的值等于_. 16. 六棱锥 PABCDEF 中，底面 ABCDEF 是正六边形，PA底面 ABCDEF，给出下列四个命题: 线段 PC 的长是点 P 到线段 CD 的距离；异面直线 PB 与 EF 所成角是PBC；线段 AD 的长是直线 CD 与平面 PAF 的距离；PEA 是二面角 PDEA 平面角其中所有真命题的序号是_ 三三. .解答题解答题: : 17如图，已知直棱柱111ABCABC中，90ACB=，30BAC=，1BC =，16AA =，M是1CC 的中点求证：11ABAM 18如图，在矩形ABCD中，3 3AB =，3BC =，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到P 点，且P在平面ABD上的射影O恰好在AB上 （1）求证：PB面PAD； （2）求点A到平面PBD的距离； （3）求直线AB与平面PBD的成角的大小 PABQCDABC1B1A1CMABCDAB( )P CDO 3 19如图,已知PA面,ABC ADBC,垂足D在BC的延长线上,且1BCCDDA= (1) 记PDx=,BPC=,试把tan表示成x的函数,并求其最大值. (2) 在直线PA上是否存在点Q,使得BQCBAC 20.正三棱锥 V-ABC 的底面边长是 a, 侧面与底面成 60的二面角。

求（1）棱锥的侧棱长； （2）侧棱与底面所成的角的正切值 21.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 8，面的对角线 B1C=10，D 为 AC 的中点，（1）求证：AB1/平面 C1BD;（2）求异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值;（3）求直线 AB1到平面 C1BD的距离 22. 已知 A1B1C1-ABC 为直三棱柱，D 为 AC 中点，O 为 BC 中点，E 在 CC1上，ACB=90，AC=BC=CE=2，AA1=6. （1）证明平面 BDEAO；（2）求二面角 A-EB-D 的大小；（3）求三棱锥 O-AA1D 体积. P A B C D 4 练习练习 1 1 答案 一选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C B D B C C A A B C 二填空题： 13. 60 14. 41arctan 15. 2 16. 三.解答题: 1717解：【法一】90ACB=1111BCAC，又三棱柱111ABCABC是直三棱柱， 所以11BC 面1AC，连结1AC，则1AC是1AB在面1AC上的射影 在四边形11AACC中，1111112AAACACC M=，且11112AACAC M=， 1111AACAC M， 11ACAM 11ABAM 【法二】以11C B为x轴，11C A为y轴，1CC为z轴建立空间直角坐标系 由1BC =，16AA =，90ACB=，30BAC=， 易得1(0, 3,0)A，(0, 3, 6)A，6(0,0,)2M，1(1,0,0)B 1(1,3,6)AB=，16(0,3,)2AM = 11603(6)02AB AM=+ + = 11ABAM 所以11ABAM 1818解：（1 1）P在平面ABD上的射影O在AB上，PO面ABD。

故斜线BP在平面ABD上的射影为AB 又DAAB，DABP，又BCCD，BPPD ADPDD= BP面PAD （2 2）过A作AEPD，交PD于E BP面PAD，BPAE，AE面BPD 故AE的长就是点A到平面BPD的距离 ADAB，DABC AD面ABP ADAP 在Rt ABP中，223 2APABBP=； 在Rt BPD中，3 3PDCD= 5 在Rt PAD中，由面积关系，得3 2363 3AP ADAEPD= （3 3）连结BE，AE 面BPD，BE是AB在平面BPD的射影 ABE为直线AB与平面BPD所成的角 在Rt AEB中，2sin3AEABEAB=， 2arcsin3ABE= 1919(1)PA面ABC,BDADBCPD,即90.PDB= 在Rt PDB和Rt PDC中,21tan,tanBPDCPDxx=, 221tantantan()2 121xxxBPCBPDCPDxx x=+(1x ) 112242 2xx=+,当且仅当2x =时,tan取到最大值24. (2)在Rt ADB和Rt DC中,tanBAD=2,tan1CAD= 2 112tantan()1 2 134BACBADCAD=+ 故在PA存在点Q(如1AQ=)满足12tan34BQC,使BQCBAC 20. (12 分)解：（1）过 V 点作 V0面 ABC 于点 0，VEAB 于点 E 三棱锥 VABC 是正三棱锥 O 为ABC 的中心 则 OA=aa332332=，OE=aa632331= 又侧面与底面成 60角 VEO=60 则在 RtVEO 中；V0=OEtan60 =2363aa= 在 RtVAO 中，VA=6211273422222aaaaAOVO=+=+ 即侧棱长为a621 6 （2）由（1）知VAO 即为侧棱与底面所成角，则 tanVAO=23332=aaAOVO 21 解：（1）连结 BC1交 B1C 于点 E，则 E 为 B1C 的中点，并连结 DE D 为 AC 中点 DEAB1 而 DE面 BC1D， AB1面 BC1D AB1面 C1BD （2）由（1）知 AB1DE，则DEB 或其补角为异面直线 AB1与 BC1所成的角 由条件知 B1C=10， BC=8 则 BB1=6 E 三棱柱中 AB1=BC1 DE=5 又BD=34823= 在BED 中 2515524825252cos222=+=+=DEBDBDDEBEBED 故异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为251 （3）由（1）知 A 到平面 BC1D 的距离即为直线 AB1到平面 BC1D 的距离 设 A 到平面 BC1D 的距离为 h，则由ABDCDBCAVV=11得 CCShSABDDBC131311=即 h=DBCABDSCCS11 由正三棱柱性质得 BDC1D 则DCBDSDBC1:211= 131312522446642121221111=+=DCCCADDCBDCCADBDh 即直线 AB1到平面的距离为131312 22. 证明： 设 F 为 BE 与 B1C 的交点，G 为 GE 中点 AODF AO平面 BDE =arctan2-arctan22或 arcsin1/3 用体积法 V=31216h=1 7 练习练习 2 2 一、选择题 1已知直线 a、b 和平面 M，则 a/b 的一个必要不充分条件是 （ ） Aa/M, b/M BaM，bM Ca/M, bM Da、b 与平面 M 成等角 2正四面体 PABC 中，M 为棱 AB 的中点，则 PA 与 CM 所成角的余弦值为 （ ） A23 B63 C43 D33 3.a, b 是异面直线,A、Ba, C、Db,ACb,BDb,且 AB=2,CD=1,则 a 与 b 所成的角为( ) A30 B60 C90 D45 4给出下面四个命题： “直线 a、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线 a、b 不相交； “直线 l 垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l平面； “直线 ab”的充分非必要条件是“a 垂直于 b 在平面内的射影”； “直线a平面”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平面内的一条直线” 其中正确命题的个数是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5设l1 、l2为两条直线，a、为两个平面，给出下列四个命题： (1)若l1, l2，l1，l1a则a. (2)若l1a ，l2a，则l1l2 (3)若l1a，l1l2，则l2a (4)若a，l1，则l1 其中，正确命题的个数是 （ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 6三棱柱111CBAABC 中，侧面BBAA11底面ABC， 直线CA1与底面成60角，2=CABCAB， BAAA11=，则该棱柱的体积为（ ） A34 B33 C4 D3 7已知直线l面，直线m面，给出下列命题： (1)/ / l m (2) lm/ / (3)lm/ / (4)l m/ / 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8正三棱锥SABC的底面边长为 a，侧棱长为 b，那么经过底边 AC 和 BC 的中点且平行于侧棱 SC 的截面 EFGH 的面积为（ ） A. ab B. ab2 C. ab4 D. 22ab 9已知平面、，直线 l、m，且lmml=,，给出下列四个结论：；l；m；.则其中正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 10在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 DD1的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是棱 A1B1上任意一点，则直线 OP 与支线 AM 所成角的大小为（ ） A.45 B.90 C.60 D.不能确定 A B C A1 B1 C1 A A1 D1 D O M A B C S E F G H 8 11将边长为 1 的正方形。