超详细配方法及其应用.doc

配方法及其应用初一（ ）班 学号：_______ 姓名：____________ 一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用；配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用；配方法是对数学式子进行一种定向变形〔配成“完全平方”〕的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当猜测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式敏捷运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝〔a＋b〕2－2ab＝〔a－b〕2＋2ab；a2＋ab＋b2＝〔a＋b〕2－ab＝〔a－b〕2＋3ab＝＋；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[〔a＋b〕2＋〔b＋c〕2＋〔c＋a〕2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a，b满意a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，求a＋2b的值．分析:可将含x,y的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值.解：∵a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，∴a2＋b2－2ab＋b2－2b＋1＝0，∴〔a－b〕2＋〔b－1〕2＝0.∵〔a－b〕2≥0，〔b－1〕2≥0，∴a－b＝0，b－1＝0，∴a＝1，b＝1，∴a＋2b＝1＋21＝3，∴a＋2b的值是3.变式练习：1、已知就x,y的值分别为___ ___.2、已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，就3a2＋5b2－4的值为___ ___.3、已知，就x+y+z的值为___ ___.4. 已知，就的值为___ ___.5、如a、b为有理数，且，就的值为___ ___.6、已知a、b、c满意，，，就a+b+c的值为______．7、已知，就的值为___ ___.8. 已知，就的值为___ ___.二、证明字母相等【例2】已知a、b、c是△ABC的三边，且满意，判定这个三角形的外形．分析:等式两边乘以2,得配方，得即由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC是等边三角形.变式练习：1、已知，求证：2、已知：a4＋b4＋c4＋d4＝4abcd，其中a，b，c，d是正数，求证：a=b=c=d；三、比较大小【例3】如代数式就M-N的值〔 〕A. 肯定是负数 B.肯定是正数 C. 肯定不是负数 D.肯定不是正数分析: M-N===应选B.变式练习：已知a、b满意等式，，就x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 四、证明代数式非负【例4】用配方法证明:不论x为任何实数,代数式的值恒大于0.分析：此题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“+正数”的形式.证明: ∵,又∵,∴∴不论x为任何实数,代数式的值恒大于0.变式练习：1、求证: 不论x、y为何值, 多项式的值永久大于或等于0；2、小萍说，无论x取何实数，代数式x2＋y2－10x＋8y＋42的值总是正数．你的看法如何？请谈谈你的理由．五、求代数式的最值【例5】利用配方法求的最大值或最小值.分析:求最大值或最小值,必需将它们化成的形式,然后再判定,当a＞0时,它有最小值c;当a＜0时,它有最大值c.解: ∵∴∴它的最小值是-9.变式练习：1、证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求它的最大值．2、对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝〔x＋m〕2＋n.〔1〕求m，n的值；〔2〕当x为何值时x2＋4x＋9有最小值？并求最小值．3、当a，b为何值时，多项式a2＋2ab＋2b2＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．六、证明完全平方数【例6】已知9x2＋18〔n－1〕x＋9n2＋n是完全平方式，求常数n的值．解：9x2＋18〔n－1〕x＋9n2＋n＝9[x2＋2〔n－1〕x]＋9n2＋n＝9[x2＋2〔n－1〕x＋〔n－1〕2]－9〔n－1〕2＋9n2＋n＝[3〔x＋n－1〕]2－9〔n－1〕2＋9n2＋n.已知9x2＋18〔n－1〕x＋9n2＋n是一个完全平方式，∴－9〔n－1〕2＋9n2＋n＝0，化简，得19n-9＝0，解得n＝9/19.变式练习：1、一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数__________．2、四个连续自然数的乘积加上1，肯定是平方数吗？为什么？3、求证：五个连续整数的平方和不行能是一个整数的平方.5、（1）请观看：25=52，1225=352，112225=3352，1122225=33352…写出表示一般规律的等式，并加以证明．（2）26=52+12，53=72+22，2653=1378，1378=372+32．任意选择另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍旧是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？6、假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”． 如：4=42-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神奇数”． （1）28和2021这两个数是“神奇数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神奇数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神奇数吗？为什么？精品。