圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型.docx

2 0 17 届高三第轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比 例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量直线过定点问题通法，是设出直 线方程，通过韦达定理和已知条件找岀 k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体， 自身存在很多性质， 这些性质往往成为岀题老师的参考如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍下面总结圆锥 曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型1若直线丨：y kx m与椭圆C相交于A，B两点（A,C的右顶点求证：直线 丨过定点，并求出该定点的坐2 2例题、（07山东）已知椭圆C: —4 3B不是左右顶点），且以 AB为直径的圆过椭圆 标解：设 A(xi, yi), B(X2, y2)，由64m2k2 16(3 4k2)(m23) 0，y kx m 22 22 2 得(3 4k )x 8mkx 4( m3x 4y 123) 0，3 4k2 m2 0Q以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且 kAD kBD% y2% 2 x2 21， y1y2 x^ 2( x1 x2) 4 0，3(m2 4k2)3 4k24( m2 3)3 4k216mk3 4 k2整理得:当m当m2 27m 16mk 4k 0 ,解得：g2k时，丨：y k（x 2），直线过定点2k, m22k，且满足37（2,0）,与已知矛盾;4k2琴时，l：yk(x2），直线过定点7(|,0)综上可知，直线丨过定点，定点坐标为 （半,0）.♦方法总结：本题为“弦对定点张直角” 的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,贝U AB必过定点x°(a2 b2)a2 b2y°(a2 b2))（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）♦模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP与BP条件（如kAP?kBP定值，kAP kBP 定值），直线ab依然会过定点（因为三条直线形似手电筒， 固名曰手电筒模型）（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第 13节）此模型解题步骤：Step1 :设AB直线y kx m，联立曲线方程得根与系数关系， 求岀参数范围；Step2 :由AP与BP关系（如kAp?kBp 1），得一次函数 k f （m）或者m f（k）；Step3 :将 k f （m）或者 m f （k）代入 y kx m，得 y k（x x定）y定。

♦迁移训练练习1:过抛物线 M: y2 2px上一点P （ 1,2 ）作倾斜角互补的直线 PA与PB,交M于A B两点，求证：直线 AB过定点注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习2:过抛物线 M: y 4x的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA OB求证：直线 AB过定点经典例题，多种解法）练习3:过2x22y1上的点作动弦AB AC且 kAB ?kAC3，证明BC恒过定点本题参考1答案：(丄，51))5练习:4 :设A B是轨迹2C : y 2px(P0)上异于原点0的两个不同点，直线 OA和OB的倾斜角分别为和,当,变化且时，证明直线4AB恒过定点，并求岀该定点的坐标参考答案2p,2 p)【答案】设A为，仏，B X2』2，由题意得Xi,X2 0，又直线0代0B的倾斜角，满足一从，故0 , ，所以直线 AB的斜率存在，否则， OA,OB直线的倾斜角之和为4 42 2而设AB方程为y kx b，显然Xl 上 x 昱，2p‘ 2p2 2将 y kx b 与 y 2px(P 0)联立消去 x，得 ky 2py 2 pb 0由韦达定理知y1 y2 ,p,y1ky2缈①k由，得 1 = tan —4 4tan()=ta ntan= 2p(y1y2)1 tantany”24p2将①式代入上式整理化简可得：2p彳，所以b2p2pk ,b2pk '此时，直线AB的方程可表示为ykx 2p2pk 即 k(x2p)y 2p所以直线AB恒过定点 2p,2 pA(4,0), 且在y轴上截得的弦 MN的长C交于不同的两点 P, Q 若x轴是 PBQ练习5: ( 2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点为8.(I )求动圆圆心的轨迹 C的方程；(n)已知点 &-1,0), 设不垂直于x轴的直线|与轨迹 的角平分线，证明直线I过定点.【答案】解:(I ) A(4,0),设圆心C(n)点匕-1,0),2 2设P(x「yjQ(x2, 丫2),由题知 y1 y2 0, y』2 0, % 8旨』2 8X?.x1 1x2 18(y1 y2) %) 0直线PQ方程为：y y1y2y1(X、 1X1) y y1(8x y12)X2X1y2 y1所以，直线PQ过定点(1,0)uuuUJU练习6：已知点B1,0,C1,0,P是平面上一动点，且满足|PC||BC|* y?~2 ~Y1 8 y2 8(1)求点P的轨迹C对应的方程;mu uuuPB CBAE，判第22题(2)已知点 A(m,2)在曲线C上，过点 A作曲线C的两条弦 AD和AE，且AD断：直线 DE是否过定点？试证明你的结论 .【解】(1)设 I 2 2 2P(x,y)代入 | PC | | BC | PB CB得(x 1) y 1 x,化简得 y 4x.(5分)直线DE过定点(5, 2).(定点(1,2)不满足题意) 练习7：已知点A(— 1, 0), B( 1，- 1)和抛物线.C : y2 4x， O为坐标原点，过点 A的动直线I交抛物线C于M P,直线MB交 抛物线C于另一点Q,如图.uuuu uuu（I）证明：OM OP为定值；（II ）若厶POM勺面积为5，求向量OM，与OP的夹角；2（皿）证明直线 PQ恒过一个定点.2 2解：（I）设点M （里，yj P（空，y2）, P、M A三点共线,4 4（II）设/ POM a 则 | 0M | | 0P| cos 5.S ROM又 (0,5 —■■,| OM | | OP | sin 5.由此可得 tan a =1.2）,245 ,故向量0M与OP的夹角为45 .（皿）设点Q（匹4即 4（y2 y3）河3即（y 丫2）（丫2,丫3）,M、B Q三点共线， kBQ kQM ,丫3）4x4(y20.(*)2 y2,即 y(y2 祠归3 4x.4,代入上式，得(y 4)( y2 y3) 4( xy3)由（*）式， y2y3由此可知直线 PQ过定点E （1，- 4）模型二：切点弦恒过定点1).例题：有如下结论：“圆x2“椭圆笃a类比也有结论:2x2y_b21(a2r —上 点 P（X0, y°）处的切线方程为 X0 yb 0）上一点p（x0, y0）处的切线方程为yoyx°x y°y~u 2a bA、B.（1） 求证：直线 AB恒过一定点；（2） 当点M在的纵坐标为1时，I-4 3【解】（1）设M（—^,t）（t3<3•••点 M 在 MA上• x1 ty13由①②知AB的方程为—x31”，过椭圆1的右准线I上任意一点 M引椭圆C的两条切线,求厶ABM的面积。

R), A(X1, y1), B( X2 ,y2),则 MA 的方程为41 ① 同理可得—x2 ty2 1②3ty 1,即 x . 3(1ty)切点为x1xy1y易知右焦点F（ 3,0 ）满足③式，故 AB恒过椭圆2y）代入—y24（2）把AB的方程x 3(11,化简得7y 6y•••I AB | 、1■■ 36 2812 |AB|4-.' 3|^2f |16 3 又M到AB的距离d ——37 .1 3」16.3 d1♦方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用， 但是在正式的考试过程中直接不能直接引用,以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程♦方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？ 参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频拓展：相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理，资料练习i： (20i3年广东省数学(理)卷)已知抛物线 C的顶点为原点，其焦点F 0,c c 0到直线l: x y 2 0的距离为.设p为直线|上的点，过点p作抛物线c的两条切线2PA, PB ,其中A, B为切点.(I)求抛物线C的方程；(n)当点P x0,y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(皿)当点P在直线I上移动时，求AF BF的最小值.【答案】(I)依题意，设抛物线C的方程为o c 24cy,由——3J结合c 0,解得21.所以抛物线C的方程为4y.(n)抛物线C的方程为4y,即 y,求导得设a人，％，B X2，y2(其中yi2XiO)方.则切线PA,PB的斜率分别为 iXi,2412 X2 ,2空),所以切线PA: y yi 彳x2同理可得切线PB的方程为x2x 2y 2y2 因为切线PA, PB均过点P x0,y0所以 Xi, yi , X2,y2所以直线AB的方程为(皿)由抛物线定义可知所以AF BFXi2Xi为方程XoXXoX 2yAF 'yii Y2 i2yo 0YiX)x 2y联立方程二 'X2 4y由一元二次方程根与系数的关系可得所以又点所以AF BFP Xo,yo2 yo2Xo所以当y0练习2：yi,即 x1x2y 2y1 0,所以XiXo2yo 2y2 yo 0.i, BF,消去X整理得Yi Y2 Yi Y2在直线I上,所以22 yo i 2 yoXo2yo 2yi0的两组解y2i,0, X2X02 yo 2 y2 0yiY2 i2yo2Xo。