八年级数学数学竞赛培训讲义(某培训机构经典讲义).doc

目 录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在与中考中难以上题，奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中，内容的编排大多大于80分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容由于《相似三角形》与其他知识的衔接较多，因此本讲义补充了初三的《相似三角形》，可根据实际情况进行必要的讲解注：有(*) 标注的为选做内容本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲 分式的运算第二讲 分式的化简求值第三讲 分式方程及其应用第四讲 二次根式的运算第五讲 二次根式的化简求值第六讲 相似三角形（基础篇）第七讲 相似三角形（提高篇）第八讲 平行四边形（基础篇）第九讲 平行四边形（提高篇）第十讲 梯形、中位线及其应用第十一讲 结业考试（未装订在内，另发）第十二讲 试卷讲评第一讲：分式的运算【知识梳理】一、 分式的意义形如（为整式），其中B中含有字母的式子叫分式当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。

二、 分式的性质（1） 分式的基本性质： （其中M是不为零的整式）2） 分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变3） 倒数的性质：1、 ；2、 若，则（，是整数）；3、 三、 分式的运算分式的运算法则有： ； （是正整数）四、 分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等例题精讲】【例1】（1）当___________时，分式的值为零；（2）要使分式有意义，则的取值范围是_______________________思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零巩固】1、若分式的值为0，则x的值为_____________；2、若使分式没有意义，则的值为________________；【拓展】当取何值时，分式有意义？【例2】化简下列分式：（1） （2）（3）巩固】化简：（1）（2）；【例3】已知，，，试比较与的大小；【巩固】比较两数与的大小例4】化简：巩固】化简：第二讲：分式的化简求值【知识梳理】1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。

给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件常常用到如下策略：（1）适当引入参数；（2）拆项变形或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或利用倒数关系等2、基本思路（1） 由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2） 两边同时变形为同一代数式；（3） 证明：，或，此时3、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法例题精讲】【例1】（1）已知，求___________________；（2）已知，则___________________；（3）若，则____________________；【例2】若，求x的值？【例3】已知，且，求的值？【巩固】若，则的值是 __________________；【例4】已知：，求的值巩固】（1）已知，则代数式的值为_______________；（2）若，则_______________；【例5】已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？【例6】已知，求证：。

思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边巩固】已知：，，求的值例7】已知，，求的值例8】已知，求证：思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式巩固】已知，求证：第三讲：分式方程及其应用【知识梳理】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用4. 较为复杂的分式方程可以采用换元法、约分来简化例题精讲】【例1】解方程：（1） （2） 【例2】解方程：【例3】解方程：【例4】解方程【巩固】解方程： 【例5】解方程： 【拓展】解方程：【例6】m为何值时，关于x的方程会产生增根？【巩固】若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【例7】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过点P跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”，根据图文信息，请问哪位同学获胜？Pl30米【巩固】轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。

求这艘轮船在静水中的速度和水流速度点拨：在航行问题中的等量关系是“船实际速度＝水速＋静水速度”第四讲：二次根式的运算【知识梳理】1、 当时，称为二次根式，显然2、 二次根式具有如下性质：（1）；（2）（3）；（4）3、二次根式的运算法则如下：（1）；（2）4、设，且不是完全平方数，则当且仅当时，5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式6、最简二次根式与同类二次根式（1）一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母适合上述这些条件的根式叫做最简根式2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式例题精讲】【例1】已知，则___________________巩固一】若为有理数，且，则的值为___________巩固二】已知，则 _______________________拓展】若适合关系式，求的值例2】当时，化简二次根式巩固】1、化简的结果是__________________。

2、已知，则等于（ ）A. B. C. D.3、已知，化简例3】多重二次根式的化简：（1）； （2）巩固】化简：（1）______________________；（2）________________________；（3）______________________；【拓展】化简例4】计算：（1）； （2）巩固】计算：（1）； （2）拓展】设，，则的值是__________________________第五讲：二次根式的化简求值【知识梳理】 有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点，这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形例题精讲】【例1】设，，求的值巩固】1、设，求的值。

2、已知，求的值拓展】已知，求的值例2】已知，那么的值等于______________巩固】1、若，则的值为（ ）A. B. C. D.不能确定2、已知，求的值例3】已知是实数，且，问之间有怎样的关系？请推导巩固】已知，求的值例4】已知均为正数，且，求的最小值巩固】求代数式的最小值第六讲：相似三角形（基础篇）【知识梳理】1、比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中项2、平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例4、相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似5、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应。