2025届黑龙江省部分重点高中数学高二上期末经典试题含解析.doc

2025届黑龙江省部分重点高中数学高二上期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内2．答题时请按要求用笔3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（　　）A. B.C. D.2．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（ ）A. B.C. D.3．已知命题：△中，若，则；命题：函数，，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.4．已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（　　）A.或 B.C. D.或5．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为()A.0 B.1C.2 D.36．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（ ）A. B.C. D.7．在等比数列中，，，则（）A.2 B.4C.6 D.88．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．若，，且，则（ ）A. B.C. D.10．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）A. B.C. D.12．数列中，，，．当时，则n等于（）A.2016 B.2017C.2018 D.2019二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ . 14．某古典概型的样本空间，事件，则___________.15．以点为圆心，为半径的圆的标准方程是_____________.16．已知双曲线C：的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为__________三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，.（1）证明：{+1}为等比数列；（2）设数列{}的前n项和，求证：.18．（12分）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.（1）当时，求证：；（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.19．（12分）如图，在棱长为的正方体中，为中点（1）求二面角的大小；（2）探究线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由20．（12分）在平面直角坐标系中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点21．（12分）已知椭圆，点在上，，且（1）求出直线所过定点的坐标；（不需要证明）（2）过A点作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22．（10分）已知椭圆，斜率为的动直线与椭圆交于A，B两点，且直线与圆相切.（1）若，求直线的方程；（2）求三角形的面积的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、D【解析】先根据已知条件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，当且仅当，即时，等号成立故选：D.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，本题关键是求出，属常规考题.2、B【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值.【详解】令公差为，则，解得，所以，当时，取最大值.故选：B3、A【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；令，又，则，故，∵在上递减，∴，故的最大值为.∴为真命题，为假命题；∴为真，为假，为假，为假.故选：A.4、A【解析】利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可【详解】解：m是2与8的等比中项，可得m＝±4，当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣＝1, 它的离心率为：,当m=-4时，圆锥曲线x2﹣＝1为椭圆，离心率：，故选：A5、A【解析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.详解】设过点的直线方程为或，①当斜率存在时有，得(*)当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：，即又方程(*)的两个不同的根是两交点、的横坐标，又为线段的中点，，即，，使但使，因此当时，方程①无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在②当时，经过点的直线不满足条件.综上，符合条件的直线不存在故选：A6、C【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；【详解】故选：C7、D【解析】由等比中项转化得，可得，求解基本量，由等比数列通项公式即得解【详解】设公比为，则由，得，即故，解得故选：D8、A【解析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.【详解】任取，，即函数在上单调递减，若，使得，则即故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：(1)，，使得成立等价于(2)，，不等式恒成立等价于(3)，，使得成立等价于(4)，，使得成立等价于9、A【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故选：A10、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C11、B【解析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由勾股定理构造椭圆参数的齐次方程求离心率.【详解】设，椭圆的焦距为，则，由，有，解得，所以，故得：故选：B.12、B【解析】根据已知条件用逐差法求得的通项公式，再根据裂项求和法求得，代值计算即可.【详解】因为，，则,即，则，故，又，即，解得.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【解析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【详解】椭圆；双曲线，双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有，所以①，②，根据椭圆的定义由，所以路程.故答案为：14、##0.5【解析】根据定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.15、【解析】直接根据已知写出圆的标准方程得解.【详解】解：由题得圆的标准方程为.故答案为：16、【解析】根据双曲线的定义由焦点坐标求出，即可得到双曲线方程，从而得到其渐近线方程；【详解】解：因为双曲线C：的一个焦点坐标为，即，，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线为；故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】(1)利用已知条件证明为常数即可；(2)求出和通项公式，再求出通项公式，利用裂项相消法可求，判断的单调性即可求其范围.【小问1详解】∵＝2，(n≥2，)，∴当n≥2时，(常数)，∴数列{＋1}是公比为3的等比数列；【小问2详解】由(1)知，数列{＋1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，∴，∴，∴∵，∴∴，∴∴.当n≥2时，∴{}为递增数列，故的最小值为，∴.18、（1）证明见解析；（2）是定值，定值为.【解析】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出，即得证；（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再求出，，即得解.【详解】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，得，所以.所以即.（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程，消去，得，故.设的方程为，联立直线与拋物线的方程，消去得，从而，则，同理可得，，即定值.19、（1）（2）点为线段上靠近点的三等分点【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，求出两个平面的法向量代入公式求解即可；（2）假设存在，设，利用相等向量求出坐标，利用线面平行的向量法代入公式计算即可.【小问1详解】如下图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．所以，设平面的法向量，所以，即，令，则，，所以，连接，因为，，，平面，平面，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，所以，由图知，二面角为锐二面角，所以二面角的大小为【小问2详解】假设段上存在点，使得平面，设，，，因为平面，所以，即所以，即解得所以段上存在点，使得平面，此时点为线段上靠近点的三等分点20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设点，求得到圆上的最小距离为，根据题意得到，整理即可求得曲线的方程；（2）当直线的斜率不存在时，显然成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程组求得和，得到，结合抛物线的定义和方程求得，，结合，即可求解.【小问1详解】解：设点，（其中），由圆，可得圆心坐标为，因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为，又由到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，可得，即，整理得，即曲线的方程为【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，可得点为抛物线的交点。