空间向量的坐标运算一.ppt

空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算（一）（一）儋州市第一中学数学组 吴应杰空间向量的基本定理：空间向量的基本定理： 如果三个向量如果三个向量 不共面，那么对空间不共面，那么对空间任一向量任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组，存在一个唯一的有序实数组x x、、y y、、z z，，使得：使得：叫做空间的一个叫做空间的一个______基底基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为向量互相垂直，且长都为1 1，则这个基底叫做，则这个基底叫做单位正交基单位正交基底底，常用，常用 i , j , k i , j , k 来表示来表示. . 点点O O叫做原点，向量叫做原点，向量i i、、j j、、k k都叫做坐标向量都叫做坐标向量. .通过每两通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面分别称为个坐标轴的平面叫做坐标平面。

分别称为xOyxOy平面平面, ,yOzyOz平平面面, ,xOzxOz平面平面. . 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 i i、、j j、、k k 以点O O为为原点，分别以原点，分别以i i、、j j、、k k的正方向建立三条数的正方向建立三条数轴：轴：x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴. .这这样就建立了一个空间直角坐标系样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzO--xyzOxyzijk二、向量的直角坐标二、向量的直角坐标=( 1 , 2, 3) 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 , ,且设且设i i、、j j、、k k为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组有序实数组( ( 1 1, , 2 2, , 3 3) )使使 = = 1 1i+ i+ 2 2j+ j+ 3 3k k 有序数组有序数组( ( 1 1, , 2 2, , 3 3) )叫做叫做 在在空间直角坐标系空间直角坐标系O--xyzO--xyz中的坐标，中的坐标，记作记作. .xyzOA(a1,a2,a3)ijk 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O--xyzO--xyz中，对空间任一点中，对空间任一点A,A,对应一个向量对应一个向量OAOA，，于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组x,y,zx,y,z，，使使 OA=OA=xi+yj+zkxi+yj+zk 在单位正交基底在单位正交基底i, j, k中与向量中与向量OA对应的有对应的有序实数组序实数组(x,y,z)，，叫做点叫做点A在此空间直角坐标系在此空间直角坐标系中的坐标，记作中的坐标，记作A(x,y,z)，，其中其中x叫做点叫做点A的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标.xyzOA(x,y,z)ijk练习1 如图建立直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 求正方体各顶点的坐标 z zx xy yA AB BC CD DA1 1B B1C C1D D1练习2 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点 建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、 CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.z zx xy yA AB BC CD DA A1 1B B1C C1D D1O OM MPQ Q三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标运算.设设则则设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。

坐标YXZABCDEF例例2 在正方体在正方体ABCD—A1B1C1D1 中中 E、、F分别是分别是 BB1 、、CD 的中点的中点 ，，求证：求证：D1F 平面平面ADE例1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a,a b 。