东城区2016-1017第二学期高二数学理科试卷(含答案).pdf

1 东城区 2016—2017 学年度第二学期期末教学统一检测高二数学 (理科 ) 2017.7 本试卷共4 页，共 100 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分 （选择题共 24 分）一、选择题 : （本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数12iz，则z在复平面内对应的点所在象限为A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．直线33,2 112xtyt（t为参数）的斜率为A．33B．32C．33D．123．在102x的展开式中，6x的系数为A．4 1016CB．4 1032CC．6 108CD．6 1016C4．一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为A．4 种B．12 种C．24 种D．120 种5．在极坐标系中，点(2,)3到直线cos2的距离为A．12B．1C．2D．36．袋子中装有大小完全相同的6 个红球和4 个黑球，从中任取2 个球，则所取出的两个球中恰有 1 个红球的概率为2 A．541B．1225C．158D．357．函数| |ecosxyx的图象大致为yOxOxyyxOxyOA B C D 8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》 ，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．1 排 4 号1排 5 号1 排 8 号2 排 4 号3 排 1 号3排 5 号4 排 1 号4排 2 号4 排 8 号丙从这 9 张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、 乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说： “ 我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”乙对甲说： “ 本来我不能确定，但是现在我能确定了．”甲对乙说： “ 哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A． 4 排 8 号B． 3 排 1 号C． 1 排 4 号D．1 排 5 号第二部分 （非选择题共 76 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i是虚数单位，复数13i1i．10．定积分11(2sin )xx dx的值为．3 11．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系2( )4.96.510h ttt．则该运动员在0.5ts时的瞬时速度为v/m s．12．若52345 012345(21)xaa xa xa xa xa x，则012345aaaaaa的值为___________．13． 随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：粉色系列黄色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山假日公主、金辉、金香玉康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配叶红竹蕉、情人草、满天星散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2 种玫瑰、 1 种康乃馨、 2 种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有种．14．已知平面向量(, )m na，平面向量( , )p qb， （其中, , ,Zm n p q） ．定义：(,)mpnq mqnpab．若(1,2)a，(2,1)b，则ab=_____________；若(5,0)ab=，且|| 5a，|| 5b，则a_________，b__________（写出一组满足此条件的a和b即可） ．三、解答题（本大题共6 个小题，共52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15． （本题满分9 分）已知函数32( )1f xxx=-+．（I）求函数( )f x 在点 (1,(1))f处的切线方程；（II）求函数( )f x 的极值．4 16． （本题满分8 分）电视连续剧《人民的名义》自2017 年 3 月 28 日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600 人，得到结果如下：其中图 1 是非常喜欢 《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1 是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．求： （I）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？附： dbcadcbabcadnK2 2观看方式年龄（岁）电视网络[)15 45,150 250 []45 65,120 80 02kKP0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 表 1 年龄6555453525150频率组距0.0400.0100.0150.020图 1 5 17． （本题满分8 分）已知数列{}na的前n项和为nS，且满足2nnSan，求数列{}na的通项公式 ．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路 1：先设n的值为 1，根据已知条件，计算出1____a，2____a，3____a．猜想：____.na然后用数学归纳法证明．证明过程如下：①当1n时，，猜想成立②假设nk（kN*）时，猜想成立，即ka．那么，当1nk时，由已知2nnSan，得1kS．又2kkSak，两式相减并化简，得1__________ka（用含k的代数式表示） ．所以，当1nk时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对任何kN* 都成立．思路 2：先设n的值为 1，根据已知条件，计算出1______a．由已知2nnSan，写出1nS与1na的关系式：1__________nS，两式相减，得1na与na的递推关系式：1__________na．整理：11na．发现：数列{1}na是首项为 ________，公比为 _______的等比数列．得出：数列{1}na的通项公式1____na，进而得到na．18． （本题满分9分）为响应市政府“ 绿色出行 ” 的号召， 王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017 年 3 月到 2017年 5 月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3 元，骑共享单车单程所需的费用是1 元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X元， 假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的．（I）求 X 的分布列和数学期望()E X；（II）已知王老师在2017 年 6 月的所有工作日（按22 个工作日计）中共花费交通费用1106 元，请判断王老师6 月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设a表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若()|() | 5D XaE X-?，则有 95％的 把 握 认为 王老 师 该月的出 行 规律 与 前 几 个月的出 行 规律 相比 有 明显变化 ． （注 ：21()(())nii iD XxE Xp==-?）19． （本题满分9 分）已知函数( )ln(1)f xxax=，aR．（I）求( )f x 的单调区间；（II）若对任意的(0,)x ??，都有( )22f xa，求实数a的取值范围 ．20． （本题满分9 分）已知随机变量的取值为不大于n的非负整数值，它的分布列为：0 1 2 Ln P0p1p2pLnp其中ip（0,1,2,,inL L）满足：[0,1]ip，且0121nppppL L．定义由生成的函数2 012( )n nf xpp xp xp xL L，令( )( )g xfx．（I）若由生成的函数23111( )424fxxxx，求(2)P的值；（II）求证：随机变量的数学期望( )(1)Eg，的方差2( )(1)(1)( (1))Dggg；（20( )(( ))ni iDiEp）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为( )h x，求(2)h的值．7 东城区 2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A A C B C D B 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分．请把答案填在答题卡中相应题目的横线上 ． ）题号9 10 11 12 13 14 答案2i0 1.6 - 1 108 （0,5） ；(2,1)，(2, 1)或者(1,2)，(1, 2)等三、解答题（本大题共6 个小题，共52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15． （本题满分9 分）解： （I）32( )1f xxx=-+，2'( )32fxxx=-． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分则(1)1,'(1)321ff==-=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分则函数( )f x 在点 (1, (1))f处的切线方程为11yx-=-，化简得yx=．⋯⋯⋯⋯4分（II）令2'( )320fxxx=-=，解得1220, 3xx==． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分当x变化时，'( )fx ，( )f x 的变化情况如下表：x(,0)- ?0 2(0,)3232(,+)3￥'( )fx+ 0 - 0 + ( )f x单调递增1 单调递减2327单调递增⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此，当0x =时，( )f x 有极大值，并且极大值为(0)1f=；当23x =时，( )f x 有极小值，并且极小值为223() 327f=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分8 16． （本题满分8 分）解： （I）平均年龄为：411506020050400401003015020.x．⋯⋯⋯⋯4分（II）根据列联表中的数据，利用公式可得2K的观测值272711300200400330270250120801506002 .k．⋯⋯⋯⋯6 分27.27 6.635k，有 99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分17． （本题满分8 分）解： 思路 1：11a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分23a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分37a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分21n na，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分1 1211a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分21k ka，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分112(1)kkSak，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1 121k ka．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分思路 2：11a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分112(1)nnSan，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分9 121nnaa，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分112(1)nnaa，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分12n na，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分21n na．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分18． （本题满分9 分）解： （I）依题意， X 可能的取值是2，4， 6，因此 X 的分布列为X 2 4 6。