人教A版高中数学(必修第二册）同步讲义第31讲 直线与直线垂直（原卷版）.doc

第31课 直线与直线垂直目标导航课程标准课标解读1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角．1、本节内容包含异面直线所成的角的定义，以及直线与直线垂直教材以正方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线所成的角的定义通过平移来研究异面直线所成的角是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题2.通过本节课的学习，为学生后面学习空间直线、平面的垂直关系打下基础，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养知识精讲知识点01回顾两直线的位置关系1．异面直线(1)定义：不同在的两条直线．(2)画法：2．两条直线的位置关系3．两个定理(1)基本事实4①文字语言：平行于同一条直线的两条直线．②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒.③作用：证明空间两条直线平行．(2)等角定理①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角．②作用：证明两个角相等或互补．4．平面内两直线的夹角(1)定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.【即学即练1】　若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)A．一定平行 B．一定垂直C．一定是异面直线 D．一定相交知识点02异面直线所成的角1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．空间两条直线所成角α的取值范围：.【即学即练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°知识点03直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.【即学即练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF.能力拓展考法01异面直线所成的角【典例1】如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．反思感悟　求两异面直线所成角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．(2)证：证明作出的角就是要求的角．(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.【变式训练】在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．考法02直线与直线垂直【典例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.反思感悟要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直．【变式训练】如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.反思感悟平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．分层提分题组A基础过关练一、单选题1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　)A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行2．在正方体中，异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．3．在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为（    ）A．30° B．60°C．120° D．60°或120°4．已知直线，若，则实数的值为（    ）A．1 B． C． D．5．在正方体中，与垂直的直线是（    ）A．AB B．CD C． D．6．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)A． B． C． D．二、多选题7．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ）A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°三、填空题8．如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示)9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为______10．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______．11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________（填序号）.四、解答题12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．13．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小.14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线AC1与B1D1所成的角的大小．15．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.（1）求证：平面；（2）求证：；题组B能力提升练一、单选题1．如图，正方体中，①与平行；②与垂直；③与垂直．以上三个命题中，正确命题的序号是（    ）A．①② B．②③ C．③ D．①②③2．在正方体中，与垂直的直线是（    ）A．AB B．CD C． D．3．如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，①点与点在某一位置可能重合；②点与点的最大距离为；③直线与直线可能垂直；   ④直线与直线可能垂直.以上说法正确的个数为A．0 B．1 C．2 D．34．正方体，、分别是正方形和的中心，则和所成的角是A． B． C． D．5．如图所示，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点.将沿折成三棱锥以后，与所成角的度数为A． B． C． D．6．已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为A． B． C． D．二、多选题7．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ）A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°8．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是AC和AE的中点，那么下列结论正确的是（    ）A． B．平面C． D．异面.三、填空题9．如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示)10．正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于_________．11．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______．12．已知四面体的棱都相等，G为的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为__________.四、解答题13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．题组C培优拔尖练1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线AC1与B1D1所成的角的大小．2．在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点.(1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小；(2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小.3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面.（1）求证：；（2）若________，求点到平面的距离.在①；②二面角的大小为60°；③，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答.。