一元二次方程式的根与系.pdf

125A2 一元二次方程式的根與係數的關係一元二次方程式的根與係數的關係 在 4-1 節的想想看中，我們請同學觀察兩根的和、兩根的積與原方程式的係數之間的關係現在，我們來對這些關係做說明 設α、β為方程式的兩個根，因此20axbxc++=20axbxc++=可化成()()a xx0αβ−−=我們知道 2()(axbxca xx)αβ++=−− ⇒2()()(bca xxa xxaa)αβ++=−− ⇒ 2()(bcxxxxaa)αβ++=−− ⇒ 2bcxxaa++2()xxαβα=−++β 經由比較係數，得到兩根的和α+βb a= −及兩根的積α β⋅c a=因此，一元二次方程式的根與係數間有以下的關係： 若20axbxc++=的兩根為α、β，則α+βb a= −及α β⋅c a= 事實上，由公式解也可以得到： 2244 22bbacbba aaαβ− +−− −−+=+c2 2b a−=b a= − 和 2244 22bbacbbac aaα β− +−− −−⋅=⋅ 222()(4) 4bbac a−−−=224 4acc aa== 126【範例【範例 1】】設α、β為的兩根，求下列各式的值： 238xx+−= 02(1) 2+αβ (2) 11 αβ+ (3) αβ− 【解】【解】 ∵α、β為的兩根 238xx+−= 0∴ 331αβ+= −= −、881αβ−== − (1) 222222αβααββαβ+=++− 2()2αβαβ=+− 2( 3)2( 8)= −−−=25 (2) 11βα αβαβ++=33 88−==−(3) 2()αβ−= 222ααββ−+ = 2()4αβαβ+− = = 41 2( 3)4( 8)−−−所以41αβ−= ±。

若知道某一元二次方程式的兩根，我們能不能反推而求得這個一元二次方程式呢？ 設α、β為所求方程式20axbxc++=的兩根 等號兩邊同除以 a，得 20bcxxaa++= 由根與係數的關係得知： b aαβ+= −、c aαβ= 因此，方程式可以改寫成2()xxαβαβ0−++= 【範例【範例 2】】 設α、β為的兩根求以210500xx+−=1 α、1 β為兩根的方程式 【解】【解】 以1 α及1 β為兩根的方程式可寫為： 2111()xxαβαβ−++= 0 (1) 127∵α、β為的兩根 210500xx+−=∴ 10αβ+= −、50αβ= − ⇒11101 505βα αβαβ+−+===−(2) 11111 5050α βαβ⋅=== −−(3) 將(2)、(3)的結果代入(1)中得到 2110550xx−−= 因此，該方程式可表為2110550xx−−= 【類題練習】【類題練習】1. 設α、β為249xx0+−=的兩根，求下列各式的值： (1) αβ+ (2) αβ (3) 22αβ+ (4) βα αβ+ 2. 設α、β為x2+4x+2= 0 的兩根，求以2α、2β為兩根的方 程式。

【範例【範例 3】】 甲、乙兩生同解一個一元二次方程式甲因為看錯一次項係數，而解得兩根為 2 與 7；乙因為看錯常數項，而解得兩根為 1 與；除此以外無其它錯誤試求正確的兩根為何？ 10−【解】【解】 我們可設此一元二次方程式為20xbxc++= 以 2 與 7 為兩根的一元二次方程式為 x2−(27)x++2×7==0⇒x2−9x+14=0 因為甲看錯一次項係數，所以常數項 c=14 是正確的 以 1 與10 為兩根的一元二次方程式為 −x2−(101)x−++(−10)×1=0⇒x2+9x−10=0 因為乙看錯常數項，所以一次項係數 b=9 是正確的 綜合以上的討論得知，原方程式可表為x2+9x+140，也就是=128(2)(7)xx++= 0，所以正確的兩根為−2 或−7 【家庭作業】【家庭作業】 1. 設α、β為的兩根，求下列各式的值： 227xx−−= 0○1 αβ− ○2 22αβ+ ○3 βα αβ+ ○4 (1)(1)αβ−− ○5 22α βαβ+ 2. 甲、乙兩生同解一元二次方程式甲看錯常數項而得到兩根1 和3，而乙看錯一次項係數得到兩根 4 和−−−3，求正確的兩根。

3. 已知方程式的兩根為4251±−，求此方程式。