2022年第十节--连续函数的运算与初等函数的连续性.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性要求 ：会利用函数的连续性求函数的极限,会争论分段函数的连续性；重点 ：利用函数的连续性求函数的极限；难点 ：分段函数连续性的争论；作业 ：习题 1－10（ P ）1,2 4〕5〕6〕7〕 ,3 3〕4〕 ,4问题提出 为了争论函数的连续性, 用定义逐点争论将是很困难的． 但是, 假如我们用连续函数的一些特别性质来争论将会便利得多, 因此来争论连续函数的四就运算, 复合运算,从而争论我们主要争论对象――初等函数连续性．一、连续函数的和、差、积及商的连续性定理 1有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数．,〕内连续,定理 2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数．定理 3两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数,且分母在该点不为零．例 1．函数tanxsinx,cotxcosx,由于sinx cosx在区间〔cosxsinx故由定理 3 知正切tanx和余切函数cotx在它们的定义域内是连续函数．结论 2三角函数在它们的定义域内是连续函数．二、反函数与复合函数的连续性定理 4 假如函数 y f 〔x 〕 在区间 I x 上单调增加（或单调削减）且连续,那么它的反函数 x 〔y 〕 在对应的区间 I y y f 〔 x 〕 x I x 上单调增加（或单调削减）且连续．例 2． 正弦函数 y sin x 在区间 [ , ] 上单调增加且连续,所以它的反正弦函数2 2y arcsin x 在相应的闭区间 [ 1,1 ] 上也是单调增加且连续．同样,反余弦函数 y arccos 在区间 [ ]1,1 上是单调削减且连续；反正切函数 y arctan x 在区间 〔 , 〕 内是单调增加且连续；反余切函数 y arc cot x 在 〔 , 〕 是单调削减且连续．结论 3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数．定理 5 设函数 u 〔 x 〕 当 x x 0 时的极限存在且等于 a ,即x lim x 0 〔 x 〕 a,而函数y f 〔u 〕 在点 u a 处连续,那么复合函数 y f [ 〔 x 〕],当 x x 0 时的极限也存在且等于 f 〔a 〕,即 limx x 0 f [ 〔 x 〕] f 〔 a 〕．说明名师归纳总结 （1）上式又可写为lim x x 0f[〔x〕]f[lim x x 0〔x 〕]；第 1 页,共 5 页（2）定理 5 中的xx0换成x可得类似定理．- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料x〕欢迎下载4．例 3．求极限limarctan x 0sinx．arctan1x解limarctan x 0sinxarctan〔lim x 0sinxx名师归纳总结 定理 6设函数u〔 x〕在点0x 处连续且〔x0〕u0,而函数yf〔u〕在点u 处连第 2 页,共 5 页续,那么复合函数yf[〔x 〕]在点0x 处也是连续的．证明由于 lim u af u 〔 〕f a ,所以0,0, 当 |ua|时,有|f u 〔 〕f a 〔 〕 |．又由于〔 〕 x 在点x 连续,所以对上述的0 ,0,当|xx 0|时,有|〔 〕a|即|ua|于是,对0,0, 当|xx 0|时,总有|f[ 〔 〕]f a 〔 〕 |所以复合函数yf[〔x〕]在点0x 处连续．例 4．争论函数ysin〔3x22x5〕及ysin1的连续性．x解函数ysin〔3x22x5〕可看作由ysinu及u3x22x5复合而成,而正弦函数ysinu在区间u内是连续函数,又函数u3x22x5在 〔,〕内是连续函数,据定理6 知复合函数ysin〔3x22x5〕在区间 〔,〕 内是连续函数．函数ysin1可看作由ysinu及u1复合而成,而正弦函数ysinu在区间xx1u内是连续函数,又函数u在x0和0x内是连续函数,x据定理 6 知复合函数ysin1在区间〔,0〕和〔0 ,〕内是连续函数．x三、初等函数的连续性1． 指数函数yax〔a0 ,a1 〕在区间〔,〕内是连续函数．证明对任0x〔,〕,yax 0xax 0ax 0 〔ax1〕,在极限部分已证明极限lim x 0ax1,所以lim x 0ax1,故lim x 0ylim x 0ax 0〔ax〕10,因此指数函数yax在- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点x 处连续,又由于x0〔,精品资料欢迎下载yax在〔,〕内连续．〕的任意性,指数函数2． 对数函数ylogax〔a0,a1 〕在区间〔0 ,〕内是连续函数．〔0,〕内是连〕内总是有定义的, 因此幂函数在由指数函数yax单调性和连续性得到．3．幂函数yx（为任何实数） ．幂函数定义域随而变,不过在〔0,续的．由于y,x〕elnx,函数yeu与ulnx都是连续的, 由定理 6 可知幂函数yx在区间〔0内连续．4．幂指函数形如yu〔x〕v〔x〕,〔u〔x〕0〕的函数称为幂指函数．uu x 〔 〕v x 〔 〕连续．u x 〔 〕0,就幂指函数y如函数u x v x 连续,且如极限lim x x 0u〔x 〕A 〔AAB．0 〕,lim x x 0v 〔x 〕B,就lim x x 0〔x〕v 〔x〕2例 5．求极限 lim〔1 x 0 x 〕 sin x．2 1 2 x 1 2 x解 l i m 〔1 x s i n 〕 lim〔1 x 〕 x sin x lim〔1 x 〕 x limx 0 sin x e 2x 0 x 0 x 0结论 4 指数函数,对数函数,幂函数在它们的定义域内连续．5．初等函数连续性（1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数．（2）一切初等函数在其定义区间内是连续的．（定义区间：包含在定义域内的区间）名师归纳总结 说明由连续性供应了求极限的方法,假如f〔x〕是初等函数,且x 是函数f〔x〕的定第 3 页,共 5 页义区间内的点,就有lim x x 0f〔x〕f〔x0〕．例 6．求极限limlnsinx．x定义区间内的点,所以x2解由于x 02是初等函数f〔x 〕lnsinlimlnsinxlnsin20．x2例 7．求极限lim x 01x2x1x．- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解lim x 01x2x1x精品资料x 2欢迎下载〕lim x 01x11x〕1．lim x 0 1 x 〔 11x 2 x1x 2 x2名师归纳总结 例 8．求极限lim x 0log 〔1x〕．a,第 4 页,共 5 页x解 l o g 〔1 l i m x 0 xx〕lim x 0loga〔1x〕1logalim x 0〔 1x〕1logae1,xxlna如ae,就lim x 0ln〔1x〕1．x例 9．求极限lim x 0axx1．解 a l i m x 0x1ax1tlim t 0logatt〕lna,x〔 1如ae,就lim x 0exx11．例 10．求极限lim x 0ln〔 1x2x 〕．解lim x 0ln〔1x2x〕lim x 0ln〔12x〕1lnlim x 0〔12x〕12lne22．x2x又同理可得lim x 0e3x13xtlim t 0 t et133．x从上面两例可得到,lim 0ln〔1〕,1lim 0e11,（中变量一样） ．例 11．求极限lim nn〔na1 〕〔a0〕．解由于 n改为连续变量x,令1t,就x11x limx〔xa〕1x limax1。