相似三角形知识点与经典题型.doc

相似三角形的判定与性质【知识点1】三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。

1、甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为 ________米． （第1题图） （第2题图）2、如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，画出符号条件的格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．3、在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______条．【知识点2】三角形相似基本图形（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 4、如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是【 】5、 如图所示，给出下列条件：①；　②； ③；　　④ACDB（第5题图）其中单独能够判定的个数为【 】A．1 B．2 C．3 D．4 （第6题图） （第7题图） （第8题图） 6、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有【 】A．1对　　B．2对　　　C． 3对　　　　D．4对　7、 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③AF：FC=1：2；．其中正确的结论是【 】A．①③ B．③ C．① D．①②8、如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

知识点3】全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例【知识点4】相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．9、（山东）如图9，△ABC中，点D段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是【 】A ．AB2=BC·BD B．AB2=AC·BD C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD=AD·CD 　　 （第9题图） （第10题图） （第11题图）10、（浙江）如图10，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为【 】（A） （B） （C） （D）11、如图11，已知：DE∥BC，CD和BE相交于点Ｏ，AD∶AB＝２∶３，M，N分别是BE，DC的中点，则MN∶BC等于【 】A.1∶6 B.2∶3 C.5∶6 D.1∶312、在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的边长为【 】A.16 B.14 C.16或14 D.16或9题型一、相似三角形的判定13、如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型二、相似三角形的性质 （第14题图） （第15题图）15、（山东）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是【 】A.= B.= C. = D.=16、△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 　17、如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 　　　　　　　　　　　　　　　　　18、△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，，求.　题型三、相似三角形的应用 19、（安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_______m．（第19题图） （第20题图）20、（青海）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是　 　mm． 21、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．　22、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？ 　　　题型四、相似三角形的周长与面积23、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　24、如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．　　(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；　　(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；　题型五、综合探究25、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.　　　　　　　　　　　　　　　　　26、如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F. 　　(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；　　(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.　　　　　　　　　　　　　　　27、（合肥）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求的值．NDACDBM第27题图参考答案6、【分析】根据题目所给已知条件——相等的角，从角度考虑，找到图形中隐含的相等的角来判断相似，结合相似三角形的基本图形分析即可得出结论。

解】∵∠CPD＝∠A，又∠GDP＝∠PDA,∴△PGD～△APD, ∵∠CPD＝∠B，∠PCF＝∠BCP，∴△BPC～△PFC, 由△PGD～△APD可得∠DGP＝∠DPA再根据等角的补角相等可得∠AGP＝∠ BPF，又∠A＝∠B ∴△AGP～△BPF ，故选C【评注】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，判断相似要结合基本图形和，也要注意由此判断出的相似三角形得到的对应角相等为后面找相似提供条件9、【分析】因为已知相似三角形，得到对应边的比相等【解】∵△ABC∽△DBA，∴，AB2=BC·BD.选A10、【分析】由等边△ABC边长为4，可得△ABC的面积为，又由DE为中位线，可得△ADE∽△ABC，再相似三角形的面积之比等于相似比的平方的性质可得△ADE的面积，两个面积相减可得就四边形BCED的面积解答】∵等边△ABC边长为4，∴△ABC的面积为又∵DE为中位线，∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC，∴∴S△ADE=。