用模式识别的策略解决三角函数的最值问题.pdf

2 0 1 5年第 1期 中学数 学研究 · 2 9· 用模式识别的策略解决三角函数的最值 问题 江苏省扬州大学附属 中学 ( 2 2 5 0 0 0 ) 孟伟业 “ 模 式” ( m o d e 1 )一词是现代科学技术中普遍采 用的术语， 一般是指被研究对象某种逻辑上的轮廓． 在西方学术界通常把模式解释为经验和理论之 间的 一种知识系统．它是“ 再现现 实的一种理论性 的简 化 了的形式” ． 把“ 模式”这个概念引入到解题理论中来， 在于 说明一定解题思想或理论指导下所建立起来的典型 问题 的固定解法的基本结构或框架． 在 学 习数 学的 解题过程 中， 将积累的知识经验经过加工， 会得 出有 长久保存价值或基本重要性的典型结构 与重要类型 ——模式． 它们是直接从丰 富的解题实践经验 中通 过理论 的概括而形成 的， 所 以解题模 式既是解题理 论 的具体化， 又是解题经验 的一种系统概括 ， 是一定 解题思想或理论指导下为实现特定解题 目 标而在实 一践中建立起来的求解各种类型题的基本结构． 它通 常以简化 的形式表达 出来， 而 当遇到一个新 问题 时， 须辨认 它属于哪一类基本模 式， 联想起一个 已经解 决的问题， 以此为索引， 在记忆贮存中提取出相应的 方法来加 以解 决， 这就是模 式识别 的解 题策 略 ． 这一解题策略， 体现 了思维定势 的正迁移 的积极作 用 ， 也体现 了化 归的思想． ‘ 求三角函数 的最值是 三角 函数 性质 的重要应 用 ， 解决 三角函数的最值 主要是用 三角 函数 的定义 域、 单调性、 图像和三角恒等变换， 还需要涉及到函 数、 不等式、 方程和几何计算等内容． 而将三角函数 的最值 问题通过模 式识别转化为我们熟悉的模 式， 从而找到解题途径 ， 不失为一种好策略． 本文就 三角 函数的最值 问题给 出一些常见模式， 供读者参考． 1 一次函数型 三角函数的最值 问题 中的一次函数型主要是指 可 以化为基本类型 Y=a s i n x+b ( 或 Y=a c o s ~+b ) 的问题 ， 这类问题的解决方法是设 t=s i n x ( 或 t= C O S N )化为一次函数Y=a t +b 在区间上的最值问 题． 模 式 1 Y=A s i n ( + )+ ( 或Y=A c o s ( + )+B ) 这一模式的最值求法是转化为一次函数在 区间 上 的 最 值 l 司趣 ． 例 1求 函 数 y = 2 s in ( 2 + 手 ) ( 一 詈 ≤ ≤ } 的最大值和最小值． n， 解析 ： 因为 一- 7 r2 -≤ ≤- 7 rk -， 所以0≤2 x+S7 r - ≤ U U J ，所 以 0 ≤ s in ( 2 + 芋 ) ≤ 1 ． 所 以 n ( 2 + 手 ) = 1 时 ，y 2 ； 当 s in ( 2 + T ) = 0 时 ，)，m in = 0． 评注 ： 对 于大部分 问题并不是直接 呈现为 Y= A s i n ( ∞ + )+ B这样的结构 ， 往往需要转化为这一 结构． 能转化为这一结构的常见模式见模式 2～5 ． 模 式 2 Y =a s i n x+b c o s x+C 这一模式的最值 是先用“ 辅助角公式”化 为 Y =揶i n ( + ) + c ( 其 n = ， 且 由 点( a， b )所在的象 限确定 ) ， 再利用 有界性加 以解 决 ， 即转化为模式 1 ． 侈 0 2 求 函 数 ) = s i n x + 4 ~ c o s x ， ∈ [ 一 号 ，芋 ] 的 最 值 ． 解析 )：2 ( s i n ． ’+c 。

s ． )=2 s i n ( + 5 - ) ， 因 为一 号≤ ≤ 詈 ， 所 以 一 詈≤ + 予≤ 56~ r，所 以 当 + 予= 詈 ， 即 = 詈时 )= 2 ； 当 詈= 一 詈 ， 即 = 一 手时 ) m in = 一 1 ． 模 式 3 Y a s i n +b s i n x c o s x+C C O S +d 这 一模式的最值求法是通过 降次后转化为模 式 2 ． 例 3 求函数 Y=s i n +4 ~i n x c o s x一1的最 值， 并求取得最值时 的值． 解 析 ：)， = 丢 ( 1 一 c s 2 ) + √ 35 - s in 2 一 1 = ·3 0· 中学数 学研 究 2 0 1 5第 1期 譬 s in 2 一 号 c s 2 z 一 吉 = s in ( 2 一 詈 ) 一 1 ． 所 以 当 2 一 詈= 2 7 r 十 号 ， 即 = 矗 7r + 5一 - ( k ∈ z ) 时 ， y ⋯ ： 1； 当 2 一 詈= 2 丌 一 号 ， 即 z = 一 詈 ( ∈ Z )时， Y =一 ÷． 模式 4 Y=s i n ( mx+ )±s i n ( m x+ ) ( 或 Y =C O S ( m + )±c o s ( m +JB ) ) 这 一模 式的三角 函数， 先用 两 角和 与差 的正 ( 余)弦公式展 开， 整理后即可以转化为模式2 ， 也可 利用和差化积公式( 新课标 中不要求记 忆)化为一 个角的三角函数形式后， 再求最值． 例4 函 数Y = e O S X + e O S ( X + 手) 的 最大 值是 解析 ： y=c 。

s +c s · 1 一s in · , ／ X =cs · 吾 一 si眦 · 譬 = ( c s · 譬 一 sin · 丢 ) = s ( +詈 ) ， 所 以 y ⋯= 模式 5 Y=s i n ( m x+~ ) e o s ( m x+ ) ( ‘ 或 y= s i n ( m x+ ) s i n ( m．x+ 卢) 、 y=e o s ( g r g ~+~ ) c o s ( mx+ ) ) ． 这一模 式的 三角 函数 ， 先 用两 角和 与差 的正 ( 余)弦公式展开， 再由乘法运算进行展开， 整理后 即可转化为模式 3 ， 也可利用积化和差公式( 新课标 中不要求记忆)化为一个角的三角函数形 式后 ， 再 求最值． 例 5 函数 Y=s i n ( 一- 2 - ) c o s 的最小值 是 ●_ 解 析 ：y = ( sin · 2 一 c s · 丢 ) c s = 譬 sin c s 一 吉 c os2 = 譬 sin 2 一 ÷ ( 1 + c s2 ) = 芎 叭 眦 c 0 一 eo 虬 一 L + c 0 s i 一 } e 。

一 ÷ = 1 ( sin 2 x ~ 譬 一 c s2 · 号 ) 一}= s jn ( 2 一 詈 ) 一 1 ， 所 以 s i n ( 2 一 詈 ) = 一1 时 ， y ⋯： 一 丢 ． 例 6函 数 y = s in x ( c s 一 s ) ( 0 0 ； 当 —} < ≤ 1 时 ， y ， < 0 ， 所 以 函 数 Y 在 [ 0 ， 寺 ] 上 是 单 调 递 增 函 数 ， 在 ( 寺， 1 ] 上 单 调 递 减 函 数 ， 所 以 当 = ÷ 时 ， = ． 评注 ： 导数 法是解 决函数最值 问题的重要 ( 根 本)方法之一． 在本题 中先通过换元 ， 转化为三次函 数在闭区间上的值域 问题 ， 接 下来利用导数 法是必 然的选择． 事实上 ， 分式型的三 角函数 的最值 问题 ， 尤 其 是 实 际 应 用 『口] 题 ( 通 常 角 的 范 围 是 [ 0 ，手 】 或 [ 0 ， 7 r ] 等) ． ， 用导数 法也是很好 的选择， 如 Y = ， ∈( 0 ， -丌4 - ) ． 至此， 笔者给 出了求解三角 函数最值 的多种模 式． 笔者认为： 求解三角 函数最值问题的关键在于把 握所属模 式， 然后选取适当的方法． 当然模式与方法 都不是 死板 的、 孤立的， 有些 问题可能要经过转化才 能接近模 式． 为 了能够熟练与灵活运用相应的模式、 方法 ， 读者可以根据需要找相关 习题进行练习． 参考文献 [ 1 ] 罗增儒． 数学解题学引论[ M1 ． 陕西 ： 陕西师范大学出版 社 ， 2 0 0 8 ： 2 6 0 ． [ 2 1 2 0 1 4江苏高考导航数学一轮复习[ M] ． 南京 ： 江苏教育 出版社 ． 2 0 1 3 ． 。