24无穷大量无穷小量1.ppt

06 九月 20240§§2.4 2.4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、一、无穷小量无穷小量定义定义 极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量注注 ①①由定义知无穷小量为一个变量而不是数；由定义知无穷小量为一个变量而不是数；②②定义中的极限包括定义中的极限包括7种形式的极限，因此说一个变量是种形式的极限，因此说一个变量是无穷小量必须指明自变量的变化趋势；无穷小量必须指明自变量的变化趋势；③③0看作常量函数时看作常量函数时lim0=0，因此，因此(不论在自变量的哪一种不论在自变量的哪一种变化趋势下变化趋势下)0是无穷小量，但无穷小量不一定是是无穷小量，但无穷小量不一定是0定理定理06 九月 20241例如例如,注注1:1: 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;06 九月 202422 2、性质、性质性质性质1 有限个无穷小量之和、差、积仍是无穷小量；有限个无穷小量之和、差、积仍是无穷小量；性质性质2 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；性质性质3 无穷小量除以极限不为零的变量仍是无穷小量无穷小量除以极限不为零的变量仍是无穷小量。

例例解解无穷小量乘以无穷小量乘以有界变量有界变量06 九月 202433 3、比较、比较 由无穷小量的性质，两个无穷小量的和、差、积仍是无由无穷小量的性质，两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量，但对两个无穷小量的商结果就复杂得多，例如当穷小量，但对两个无穷小量的商结果就复杂得多，例如当x→1时时f(x)=x-1、、g(x)=x2-1、、h(x)=(x-1)2都是无穷小量，但都是无穷小量，但可以看出，可以看出，两个无穷小两个无穷小量的商可能极限不存在，量的商可能极限不存在，极限存在时可能等于零极限存在时可能等于零也可能不为零也可能不为零极限不同极限不同, ,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同. .为方便，引入以下定义为方便，引入以下定义06 九月 20244定义定义①①A=0则称则称α是比是比β高阶高阶的无穷小量，记为的无穷小量，记为α=o(β);②②A≠0则称则称α与与β是是同阶同阶的无穷小量，记为的无穷小量，记为α=O(β)；特别；特别地当地当A=1时称时称α与与β等价等价，记作，记作α~β例如例如x→1时，时，(x-1)2=o(x-1)，，x2-1=O(x-1) 。

练习练习 x→0时，时，高高同同高高06 九月 20245注注 ①①只有都是无穷小量时才能分阶；只有都是无穷小量时才能分阶；②②比较时一定要说明在哪一种变化趋势下；比较时一定要说明在哪一种变化趋势下；③③并非任意两个无穷小量都可以分阶；并非任意两个无穷小量都可以分阶；④④阶的高低反映了无穷小量趋于零的速度阶的高低反映了无穷小量趋于零的速度高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步06 九月 20246 在无穷小量的比较中，无穷小量的等价最为重要，首在无穷小量的比较中，无穷小量的等价最为重要，首先，先，无穷小量的等价满足反身性、对称性、传递性而无穷无穷小量的等价满足反身性、对称性、传递性而无穷小量的等价的应用主要反映在下面的定理：小量的等价的应用主要反映在下面的定理：定理定理 此定理表明，求此定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子分母都两个无穷小之比的极限时，分子分母都可用等价无穷小来替换可用等价无穷小来替换适当替换可以简化极限的计算适当替换可以简化极限的计算 注注 ①①应用时注意自变量的变化趋势；应用时注意自变量的变化趋势； 　　　　②②只有在只有在乘积乘积时才能代换，加减时不可以；时才能代换，加减时不可以；　　　　③③加减时有时可分成两个极限计算，但分开后每个极限加减时有时可分成两个极限计算，但分开后每个极限都要得出具体数值，不能再合并。

都要得出具体数值，不能再合并06 九月 20247例例解解练习练习答案答案备忘备忘 x→0时常用的等价时常用的等价无穷小无穷小量有量有06 九月 20248这里把这里把3x当成一个整体，当当成一个整体，当x→-∞时它是无穷小量时它是无穷小量例例 在代换时我们关注的不是自变量是否趋于零，而是保证在代换时我们关注的不是自变量是否趋于零，而是保证代换的那一部分代换的那一部分(有时是自变量的表达式有时是自变量的表达式)必须是无穷小量必须是无穷小量解解练习练习答案答案06 九月 20249计计算算极极限限答答 案案06 九月 202410二、二、无穷大量无穷大量 极限不存在包括两种情况：跳跃型极限不存在包括两种情况：跳跃型(振荡型振荡型)和无限增大和无限增大型第二种极限称为无穷大，也就是说，型第二种极限称为无穷大，也就是说，若在自变量的某一若在自变量的某一变化趋势下，函数变化趋势下，函数f(x)的绝对值无限增大，则称的绝对值无限增大，则称f(x)为为无穷大无穷大量量其精确定义如下：其精确定义如下：则称则称x→x0时f(x)为无无穷大量大量，，记作作定义定义对对x的其他变化趋势可类似定义。

的其他变化趋势可类似定义06 九月 202411 注注 ①①无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而不而不是一个很大的常量是一个很大的常量. 当当ƒ(x)取正值无限增大取正值无限增大(取负值绝对值无取负值绝对值无限增大限增大)时时, 称为称为正无穷大量正无穷大量(负无穷大量负无穷大量)，，记为记为　　 　limf(x)=＋∞或或limf(x)=－∞ 　　　 ②②式子式子limf(x)=∞只是一个记号，实际上只是一个记号，实际上f(x)的极限仍的极限仍是不存在是不存在 ③③说一个量是无穷大量是要指明自变量的变化趋势说一个量是无穷大量是要指明自变量的变化趋势 无穷大量和无穷小量的关系由下面的定理确定：无穷大量和无穷小量的关系由下面的定理确定： 定理定理 在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量的倒数是无穷大量穷小量，无穷小量的倒数是无穷大量 因此，有关无穷大量的计算和分析证明可转化为对无穷因此，有关无穷大量的计算和分析证明可转化为对无穷小量的讨论。

小量的讨论06 九月 202412例例解解 由此对于由此对于0/0形式的有理分式的极限，利用消零法总可以形式的有理分式的极限，利用消零法总可以得出结果：对分子、分母分解因式，约去公因式直到代入时得出结果：对分子、分母分解因式，约去公因式直到代入时分子、分母至少一个不为零为止若分子、分母都不为零，分子、分母至少一个不为零为止若分子、分母都不为零，则得出非零极限值；若分子为零则得出非零极限值；若分子为零(分母不为零分母不为零)，则函数为无，则函数为无穷小量；若分母为零穷小量；若分母为零(分子不为零分子不为零)，则函数为无穷大量则函数为无穷大量06 九月 202413用用A 表示有极限的函数，表示有极限的函数，K 表示有表示有界函数，界函数，C 代表常数，总结出无穷代表常数，总结出无穷小量和无穷大量的一些运算规律，小量和无穷大量的一些运算规律，大家看一看，有没有参考价值？大家看一看，有没有参考价值？。