积分对称性定理.docx

关于积分对称性定理1、定积分：设f(x)在a,a上连续，那么a-aa-axdx0,a2fxdx,0x为X的奇函数,X为X的偶函数.2、二重积分：假设函数f(x,y)在平面闭区域D上连续，那么〔1〕如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇〔或偶〕函数,即f(x,y)f(x,y)〔或f(x,y)f(x,y)〕，那么二重积分0,fx,y为y的奇函数fx,ydxdyD2fx,ydxdy,fx,y为y的偶函数D1其中：Di为D满足y0上半平面区域〔2〕如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇〔或偶〕函数,即fx,yfx,y〔或fx,yfx,y〕，那么二重积分0,fx,y为x的奇函数,fx,ydxdy2fx,ydxdy,fx,y为x的偶函数.DD2其中：D2为D满足x0的右半平面区域〔3〕如果积分区域D关于原点对称，f(x,y)为x,y的奇〔或偶〕函数，即f(x,y)f(x,y)〔或f(x,y)f(x,y)〕那么二重积分0,fxy为x,y的奇函数f人ydxy2fx,ydxy,fxy为Xy的偶函数DD2其中:D1为D在y0上半平面的局部区域〔4〕如果积分区域D关于直线yx对称,那么二重积分fx,ydxdyfy,xdxdy.〔二重积分的轮换对称性〕DD(5)如果积分区域D关于直线yx对称,那么有0,当f(y,x)f(x,y)时f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy当仁y,x)f(x,y)时DD1利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是〔1〕〔2〕〔3〕中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。

3、三重积分：(1)假设fx,y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，i为位于xoy坐标面上侧z0的局部区域，那么有0,fx,y,z为z的奇函数fx，y，zdxdydz2fx,y,zdxdydz,fx,y,z为Z的偶函数1注：f(x,y,z)是z的奇函数：f(x,yz)f(x,y,z)f(x,y,z)是z的偶函数：f(x,yz)f(x,y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz,yoz坐标面对称也有类似的性质4、曲线积分〔第一类〕〔1〕假设分段光滑平面曲线L关于y轴对称，且fx,y在L上为连续函数，Li为L位于y轴右侧的弧段，那么0,fx,y为x的奇函数，lfx,yds2fx,yds,fx,y为x的偶函数.L1(2)假设分段光滑平面曲线L关于x轴对称，且fx,y在L上为连续函数，Li为L位于x轴上侧的弧段，那么0,fx,y为y的奇函数Lfx,y*2fx,ydsifx,y为y的偶函数Li〔3〕假设L关于直线yx对称，那么f(x,y)dsf(y,x)dsLL其中〔3〕式也称为第一类曲线积分的轮换对称性5、第二类曲线积分〔1〕设分段光滑的平面曲线L关于x轴对称，且L在x轴的上半局部L!与在下半局部的L2方向相反，那么0,Px,y是关于y的偶函数Lpx,ydx2Px,ydx,Px,y是关于y的奇函数L1〔2〕设分段光滑的平面曲线L关于y轴对称，且L在y轴的右半局部Li与在左半局部的L2方向相反那么0,Px,y是关于対勺偶函数，lPx,ydx2Px,ydx,Px,y是关于x的奇函数.Li对于积分lQx,ydy也有类似地结论。

上述结论可推广到空间曲线的情形•6、第一类曲面积分：假设曲面关于xoy坐标面对称，fx,y,z为上的连续函数，i为位于xoy上侧z0的局部曲面，那么0,fx,y,z为Z的奇函数fx,y,zdS2fx,y,zdS,fx,y,z为z的偶函数1曲面关于yoz,xoz坐标平面对称也有类似的性质7、第二类曲面积分的对称性设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在分片光滑的曲面上连续，〔1〕设分片光滑的曲面关于xoy坐标面对称，且在xoy上半空间的局部曲面!取上侧，在xoy下半空间的局部曲面2取定下侧，那么0,Rx,y,z关于是偶函数Rx,y,zdxdy2Rx,y,zdxdy,Rx,y,z关于是奇函数1〔2〕设分片光滑的曲面关于yoz坐标面对称，且在yoz前半空间的局部曲面i取前侧，在yoz后半空间的局部曲面2取后侧，那么0,Px,y,z关于x是偶函数px,y,zdxdy2Px,y,zc^dz,Px,y,z关于x是奇函数1〔3〕设分片光滑的曲面关于xoz坐标面对称，且在xoz右半空间的局部曲面i取右侧，在xoz左半空间的局部曲面2取左侧，那么0,Qx,y,z关于y是偶函数Qx，y，zdxdy2Qx,y,zdydz,Qx,y,z关于y是奇函数1〔4〕假设积分曲面关于x,y,z具有轮换对称性，那么Px,y,zdydzPy,z,xdzdxP乙x,ydxdy-Px,y,zdydzPy,z,xdzdxP乙x,ydxdy3。