圆的有关性质复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆的,有关性质,薛庆海,圆,定义,点和圆的位置关系,经过不在同一条直,线上的三个点的圆,基本定理,垂径定理及其推论,圆心角，弧、弦，弦心距之间的关系,圆周角定理及其推论,条件、步骤,圆内接四边形,点的集合,推理,单元知识结构：,单元知识要点和要求,1.理解圆的定义：“在一个平面内，圆是到 定点的距离等于定长的点的集合圆是到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形，是封闭曲线，圆是圈，要和日常生活中的圆形区分开圆有外部和内部,2.理解点与圆的三种位置关系，并会应用Q,P,R,O,P,点在圆外,OP r,R,点在圆内,OR r,Q,点在圆上,OQ=r,3 圆的确定 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小1）经过一点可作无数个圆（2）经过,A、B,两点可作无数个圆，圆心段,AB,的垂直平分线上3）经过三点的圆,a）,经过在一直线上的三个点不能作圆b）,定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.理解确定的含义:不在同一条直线上的三个点能作且只能作一个圆会用尺规作已知三角形的外接圆.,c）,外心的概念：三角形外接圆的圆心是三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。

锐角、钝角、直角三角形的外心分别在三角形的内部、外部和斜边中点,4.理解圆的轴对称性,掌握垂径定理及其推论,并会运用它们解决有关计算、证明和作图问题.(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每条直线都是圆的对称轴不能说直径是圆的对称轴）(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧表示法:如图,CD,是,O,的直径,CDAB,AE=BE,AD=BD,AC=BC,A,B,C,E,O,DO,.,推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,（3)垂径定理的推论,表示法:如上图,CD,是,O,的直径,AE=BE(AB,不是直径),CDAB AD=BD,AC=BC,平分弦所对的一条弧的直径，,垂直平分弦，并且平分弦所对的两条弧,表示法:如上图,CD,是,O,的直径,AC=BC,CDAB AE=BE,AD=BD,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,表示法:如图,CDAB,AE=BE,CD,是,O,的直径,AD=BD,AC=BC,推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等,表示法:如图,AB/CD,AC=BD,B,C,A,D,A,B,C,E,O,DO,.,垂径定理及推论1可叙述为：一条直线如果它具有垂直于弦平分弦平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧经过圆心等五个性质中的任何两个，它就有其余的三个（其中有一种情况所说的弦不能是直径）,（4）弦心距是重要辅助线，常用的有三种：,a),作,OMAB,垂足为,M,则,AM=BM,b),已知,M,是,AB,的中点时，连结,OM,则,OM,垂直,AB,c),已知,C,是弧,AB,的中点时，连结,OC,则,OC,垂直平分,AB,B,A,O,M,(a),B,A,O,M,(b),B,A,O,C,(c),5理解圆的旋转不变性，掌握圆心角，弦，弦心距的概念和圆心角，弧、弦，弦心距之间的相等关系，并能运用它们解决有关计算、证明（1）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，圆具有围绕圆心旋转的不变性，它是研究圆心角，弧、弦，弦心距之间的关系的依据（2）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等,推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,定理与推论使用的前提条件必须是“在同圆或等圆中”,（3）在同圆或等圆中，若证明两条弦相等，可以考虑：,证明弦所对的弧相等,证明弦的弦心距相等,6理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用它们进行论证和计算,（1）定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆 心 角的一半,表示法：,A=，,如图,定理的证明运用了数学的,分情况讨论,的思想,O,C,A,B,O,A,B,C,A,O,B,C,.,.,（2）推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，,同圆或等圆中,，相等的圆周角所对的弧相等,推论2：半圆或直径所对的,圆周角,是直角；,90度的,圆周角,所对的弦是直径（所对的弧是半圆）,表示法：,AB,是,O,的直径,AC BC,或,AB,是,O,的直径,推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，,那么这个三角形是直角三角形,表示法：,是直角三角形,A,B,C,O,.,A,B,C,D,7 理解圆的内接四边形的概念和性质，并且会在推,理论证中应用,（1）定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一,个外角都等于它的内对角,表示法：如图,(,2)圆内接四边形,ABCD,中,A:B:C:D=m:n:p:q,则,m+p=n+q,(,3)圆内接平行四边形是矩形,圆内接梯形是等腰梯形,圆内接菱形是正方形,D,C,A,B,E,10课本例题得出的规律：,（,1）过相交两圆的交点的直线与两圆分别有两个交点一个圆上两个交点的连线与另一个圆上两个交点的连线平行,（,2）三角形两边的乘积等于第三边上的高与三角形,外接圆直径的乘积,A,B,C,E,F,D,.,E,A,C,O,B,D,单元例题解析,单元例题解析,例1 一圆弧拱桥的跨度为8米，拱高为2米，,求此拱桥的半径.,由垂径定理得,AD=BD=,AC=BC.,又,CD=2,米,在,Rt,AOD,中,即,解,得：,OA=5（,米）,答:拱桥的半径为5米.,O,A,B,C,D,解:设,AB,表示桥拱,弧,AB,的圆心为,O,过,O,作弦,AB,的垂线,OD,D,为垂足,且与,AB,交于,C.,连结,OA,例2 如图,以,AB,为直径作半圆,CD,是任一弦,由,A,B,向,CD,所在直线作垂线,垂足为,E,F,BF,交半圆于,G.,求证:,EC=FD,AC=DG.,A,B,F,E,C,D,O,G,M,证明 连结,AG,作,OMEF,M,为垂足.,则,CM=DM.,OM,，,又，,，,即,是的直径，,又,例3中，,C=90,度，,AC=8,BC=15,以为圆心，为半径的交于,求的长,.,C,A,B,D,M,解:,方法一：,作，为垂足，则,在中，,，,，,例如图，四边形内接于，过作,交的延长线于,求证：,分析,DCA,DCADBA,DBA,A,E,B,C,D,圆内接,四边形,ABCD,证明略,1、如图，,O,的,半径,OA=1，,弦,AB、AC,长分别是 、，求,BAC,的度数。

典型例题,分析：过,O,点作,OD AB，,OE AC答案：,BAC=75,E,O,C,F,B,A,2、如图，,O,是,ABC,的外接圆，,AD BC,于,D，AE,是直径，,求证：,BAE=CAD分析：证法一：连结,BEE,D,C,A,B,证法二：连结,CE证法三：延长,AD,到,F，,连结,EFF,3、如图，,AB,是,O,的,直径，弦,CD,垂直,AB,于,E，F,是弧,AC,上的任一点，,AF,与,DC,的延长线交于点,P，,求证：,FA FP=FC FDP,F,E,D,A,C,B,分析：欲证,FA FP=FC FD,只证,FA：FC=FD：FP,FAD FCP,1、过圆,O,内的点,P,的最长弦与最短弦分别为10,cm、8cm，,则,OP,长为,cm2、,圆内接四边形,ABCD,的内角,A：B：C=2：3：4，,则,A=,，D=,3、,一水平放置的圆柱形水管横截面如图所示，水管横截面半径13,cm，,水面宽,AB=24cm，,则水管中水深,cm练一练,A,B,3,60,90,8,分析：过点,O,作,OE,垂直,AB，,作,OF,垂直,CD，,连结,OP,4、,已知圆,O,半径2,cm，,弦,AB,所对的劣弧为,圆的,，则弦,AB,长为,cm。

5、,边长为,a,的等边三角形外接圆半径等于,6、如图，,P,是圆,O,外的一点，,PB、PD,分别交圆,O,于点,A、C,且,AB=CD，,求证：,PA=PCP,B,D,C,A,O,E,F,谢谢收看,再见,。