计算物理课设.doc

旋晶翻我大孥SHAANXI UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGYit算物理学课程设计说明书题目：研究水星近日点的进动学生姓名：姚文杰学 号： 201412020225院（系）：理学院物理系专 业： 应用物理学指导教师： 李冠强2015 年12月18日1选题背景 12方案论证 13过程论证 13.1合理假设与符号说明 13.2模型的建立 23.3模型II的求解 33.4模型II的模拟 44结果分析 55总结 5参考文献 6程序 71选题背景水星距离太阳太近，个头又很小，人们平时很难看到它，只有在口出和日落之后的 一段很短的时间内才能见到，科学家观测发现水星在围绕太阳运动时，其椭圆轨道本身 在它的轨道平面内沿水星运动方向缓慢地运动，每转一圈，椭圆的长轴也略有转动，水 星近口点就在空间移动，这一现象在天文学上称为进动，观察表明水星进动速率为 133"/100年,比根据牛顿定律推算出来的值(l32z37z7100年)偏高43〃/100年,这 个值被称为水星近口点反常进动这虽然是一个很小的差异，但却已经进入观测精度不 容许忽略的范围，那么，水星的反常进动之谜该如何解释？1859年法国勒威耶(Le Verrier. U.-J.-J)提出是由于水内行星的存在；此后，美国纽 康(Newcomb. S.)解释为可能是由于黄道光的弥散物质阻尼作用；19世纪末，韦伯、黎 曼等人试图以电磁理论来解释，均未获得满意结果；1915年爱因斯坦提出广义相对论后, 成功地解释了这一问题，成为犬文学对广义相对论的最有力的验证之一。

⑴2方案论证本文将会简化其模型并利用Matlab画出水星运动轨道且验证只要质点在有心力场 中所受的力与平方反比引力有微小偏离，其轨道就不是闭合椭圆，从而证明广义相对论 对万有引力定律的修正将引起椭圆轨道进动在数值求解时，由于实际修正项非常之小，数量级小到只有10一7,须要适当地选取 参量大小，从而夸张地展示轨道的进动情况本文为什么耍选用Matlab对水星近口点进动进行模拟？首先，Matlab软件是 Mathworks公司推出的一套工程计算及数值分析软件，我们在学习工作中使用Matlab可 以进行数值计算、符号运算、图形模拟与仿真等Matlab对科学计算结果迅捷而准确的 可视化能力，有助于使用者化抽象思维为形象思维，从而更好地洞察物理含义、理解概 念、发现规律，进而提高学习效率，激发学生学习兴趣，培养学生的创新能力⑵3过程论证3. 1合理假设与符号说明首先建立以太阳为原点的极坐标系(见图3-1),向径表示水星位置：其次我们把开 普勒第三定律以及万有引力定律均作为假设；图3-1建立极坐标系规定符号:表3- 1规定符号符号含义符号含义G引力常量Y太阳与水星的距离M太阳质量一 r水星P点的位矢m水星质量冲）水星的轨道9长轴与的角度C真空下光速3. 2模型的建立角度d表示近口点由一个轨道到卜一个轨道（即一周）的进动，如图3-2所示。

水星图3-2水星的进动示意图由牛顿第二定律和万有引力定律可得: 模型I，牛顿引力型模型（d2u , GMm2^+u = —”（六（3・i）i 制o）= o其中，初始位置为：（q（1 —e）, 0）由此可以算出对水星进动的影响为132,37〃/100年，此结果比观察结果133,20〃/100 年偏低43-/100年，由于是观测精度不允许忽略的范围，故该模型仍需要改进由问题分析可知：因水星距太阳太近，这里更适合的理论是广义相对论和施瓦兹蔡 尔德度量由质量为M的物体近旁运动的物体之速度为1）= 群，将引力场方程按詈（即《）2）展开得到逐级的近似方程，当ucU寸，略去含普的高次慕便得到牛顿的引力理论的场方 c2r程；如果7^1，含写的二次界的场方程便是一级后牛顿修正C czr对⑴式，令k =若：即有褰+ * = 12 2一级后牛顿修正为：裟+k = l+Xk2,其中X = 3（羿） dO2 \ Poc /于是，便得到卜面新的模型：模型II,摄动模型：借+ S1+X疽\ u（0） = 1 + e （3-2）I 穿其中，为一个非常小的参数，对于水星而言，它的数量级为IO，,这是一个非线性二 阶常微分方程初值问题。

3. 3模型II的求解由于本人知识水平有限，我们只能通过文献查询求解出来水星绕太阳公转一周需 要88个地球口，这时转过的角度（即近口点进动）为H = 4.9 X 10一7 rad在100年里，水星公转415周，近口点进动为415 X 4.9 X 10-7 rad = 2.0335 x 10-4 rad = 0.011651 = 41.94385〃这个计算结果很好的利用了广义相对论解释了水星近口点进动的问题，值得指出的是它 成为广义相对论为世人认可的第一个实验论证[3]我们还可以查阅文献得到水星近口点的进动公式（每公转一周）为：M= 6：gm 衅(3-3)cza(l-ez) czr0其中，G为引力常数，M为太阳质量，c为真空中光速，为水星轨道长半轴，e为水 星轨道偏心率，，为水星轨道平均半径⑷于是，我们将相关数值代入可得到：247T3 x (57909100000)2 7△8 = -^― rad = 5.0447 x 10-7 rad(299792458)2 x 55460489168那么，在100年里，其近日点进动为415 x A0 = 415 x 5.0447 x 10"7 rad = 2.0935 x 10"4 rad = 0.11995 = 43.18223〃根据天文观测的结果，水星近日点每百年的进动角度值应为43.110.45气 从这两 份结果看来，第二种结果显然在观测范围内的，所以第二种结果的准确度更高。

3. 4模型I I的模拟在这里，我们将利用matlab模拟出水星进动的情况在数值求解时，也于实际修正 项非常之小，数量级小到只有10一7,须要适当地选取参量大小，从而夸张地展示轨道的 进动情况15-10-15 L-15-10-51015图3-3水星近L!点进动的模拟4结果分析只要质点在有心力场中所受的力与平方反比引力有微小偏离，其轨道就不是闭合椭 圆，从而，广义相对论对万有引力定律的修正将引起椭I员I轨道进动因此，不只是水星, 其他行星的轨道在大尺度的时间内也不会是闭合的椭圆，只不过水星的进动是特别的明 显水星是离太阳最近的内行星，在太阳的强引力场中即弯曲程度较大的时空中运动，因而 建立在欧几里德几何空间的牛顿引力理论就无法解释其运动轨道中的近日点偏差问题 而其它行星远离太阳，在太阳的弱引力场中即弯曲程度很小的时空中运动，因而用牛顿引力 理论可相当精确地解决其近日点的进动问题再从上面因时空弯曲而引起行星近口点转 动角度的公式也可看出，由于水星离太阳最近，速度大，轨道偏心率大，所以它的转动角度 比其它行星都大，以致在实际观察中可以明显地观察出来它的这种转动按照广义相对论，水星围绕太阳运动一周后不回到原处，它的运行轨道不是一条封闭 的曲线，而是由一系列的椭圆形曲线互相联接而成的蔷薇花状的曲线。

5总结在这一次的计算物理课程设计中，我遇到了不少的难题首先，我就遇到建立运动 微分方程的困难，我便杳阅了不少的关于水星近口点进动问题的文献我在用matlab对 其运动微分方程就行数值求解时，发现解不出来，总是出问题于是我想到会不会是由 于没有对方程进行无量纲化的原因，然而我对无量纲化没有深入地学习过，导致这样的 情况非常棘手所以，对于近日点进动的解，我只能在其他文献里查阅不过，对于水 星进动的模拟，我试验了多组参量，终于将其适合地画出来这一次课设，零零散散的时间结合起来，总共花了我2、3天的时间我遇到不少的 困难，但是我也学到了很多的东西并且我也会在今后继续学习Matlab,让我的水平继 续提高参考文献[1] 刘安国，水星近日点进动的广义相对论证明.山东师大学报(自然科学版)， 1991.(35):36-41[2] 裴慧霞，文黎巍，支联合，MATLAB在大学物理教学中的应用.周口师范学院学报(Journal of Zhoukou Normal University) ,2010.(27.2):57-59[3] 王庚，水星近日点进动的建模与摄动解.数学的实践与认识(MATHEMATICSPRACTICE AND THEORY), 2003. (33.11)： 1-5[4] 段然，水星进动浅解.科技资讯(SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ), 2009.(19)%极坐标转换为直角坐标%运动微分方程functionsxjd[theta,r]=ode45(@fun,[0:pi/100:19.5*pi],[0.1,0]) ； %解微分方程figureaxis([-15,15,-15,15])hold onsun=line(0,0,color,T,marker,.,markersize,20); %太阳位置[x,y]=pol2cart(theta, 1 1));comet(x,y)plot(x,y)endfunctionydot=fun(theta,r)b=0.06;ydot=|r(2);-r(l)+l+b*r(l)人2];end。