均值不等式几种几何模型归类解析.pdf

② 即（ａ － １）（ａ３＋ ａ２－ ａ － １０） ＜ ０，观察可发现２ 是方程 ａ３＋ ａ２－ ａ － １０ ＝ ０ 的一个根，从而 ａ３＋ ａ２－ａ － １０ ＝ （ａ － ２）（ａ２＋ ３ａ ＋ ５），因为 ａ２＋ ３ａ ＋ ５ ＞ ０，所以（ａ － １）（ａ３＋ ａ２－ ａ － １０） ＜ ０ 的解为ａ ＜ １ 或 ａ ＞ ２，④取 ③、④ 的交集得 － ３ ＜ ａ ＜３ ４．反思 取 ③、④ 的交集得 － ３ ＜ ａ ＜３ ４即为 ③，说明 ② 的解集包含 ① 的解集，这难道是偶然的巧合吗？联想曾经学过的结论：二次方程 ａｘ２＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ 的两根中，一根大于零，另一根小于零的充要条件是ｘ１ｘ２＝ｃ ａ＜ ０ 即 ａｃ ＜ ０，原因是当 ａｃ ＜ ０ 时，判别式 Δ ＝ ｂ２－４ａｃ ＞ ０ 必成立．由此类比猜想：当 ① 成立时，② 必成立．尝试证明：由 ① 可得 － ９（ａ － １） ＞ ４（ａ２－ １） ＋ ４，所以（ａ２－ １）２－ ９（ａ － １） ＞ （ａ２－ １）２＋ ４（ａ２－ １） ＋ ４＝ （ａ２＋ １）２＞ ０．猜想成立！反思 上述结论能否从图像上直观地得到验证？令 ｆ（ｘ） ＝ ４ｘ２＋ ４（ａ２－ １）ｘ ＋ ９（ａ － １），则 ｆ（１） ＝ ４（ａ２－ １） ＋ ９（ａ － １） ＋ ４，即 ｆ（１） ＜ ０，它意谓着函数 ｆ（ｘ）在 ｘ 轴的下方有图像，又抛物线的开口向上，所以 Δ ＞０．猜想成立！上述解法能否简化？既然当①成立时，②必成立，那么②就是多余的，故只需解 ① 便轻松得出 － ３ ＜ ａ ＜３ ４．能否从上面的反思探究中概括出一个必然的规律？规律总结 一般地，一元二次方程 ａｘ２＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝０（ａ ＞ ０） 的一根小于 ｍ，另一根大于 ｍ 的充要条件是（ｘ１－ ｍ）（ｘ２－ ｍ） ＜ ０（也即 ｆ（ｍ） ＜ ０）．以上只是就三道例题的教学谈了如何引导学生从偶然现象开始进行解题反思，进而发现隐藏在题目背后的必然规律，其中特别侧重于引导学生如何思考的环节，我以为这正是在解题教学中贯彻启发式思想，培养数学素质，发展创新思维，提高探究能力的关键所在．作者简介 孙芸，女，１９６８ 年 １１ 月生，江苏常州金坛市人，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究和解题反思性学习研究．先后获得海门市功勋教师、海门市骨干教师，南通市骨干教师等荣誉称号，近几年来有 ４０ 多篇论文在省级以上刊物发表．均值不等式几种几何模型归类解析浙江省富阳市新登中学 ３１１４０４ 杨志芳均值不等式即ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ∈Ｒ） 是必修五第三章内容，是学生必须掌握的一个重点知识，应用广泛，如果把课本的定理和练习的几个式了组合在一起就成为了２ａｂ ａ ＋ ｂ≤ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２≤ａ２＋ ｂ２２≤ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ ∈ Ｒ），但最后一个不等式即ａ２＋ ｂ２２≤ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞０，ａ，ｂ ∈ Ｒ） 课本没有涉及，叙述为两个正实数的调和平均数不大于这两个数的几何平均数，而几何平均数不大于它们的算术平均，算术平均数不大于的它们的平方平均数，而平方平均数不大于它们的反调和平均数．在证明过程中用代数的方法比较多，构造几何模型的比较少，最近听了华东师范大学博士汪晓勤教授的《高中数学教师的专业素养 — — —ＨＰＭ视角》 的专题讲座，提及古代泥版数学上就有记载均值不等式用几何构造证明，颇感兴趣，仔细研读，整理七种不同几何模型证明均值不等式．图 １模型一 如图１，取圆外一点 Ａ，连结 ＡＯ 并延长分别交 ☉Ｏ 于 Ｃ、Ｂ 两点，ＡＤ 是圆☉Ｏ 的一条切线，连结 ＯＤ，作ＤＥ ⊥ＯＡ于Ｅ，作ＯＧ⊥ＡＢ交☉Ｏ 于 Ｇ，连结 ＡＧ，以 Ｏ 为圆 心，ＯＥ 为半径作圆交 ＯＢ 于 Ｆ，此时，就可以利用图形的直观性，线段的长短关系判断其大小，可利用直角三角形斜边大于直角边这一直观的结论证明，即来证明均值不等式，设ＡＣ ＝ ａ，ＡＢ ＝ ｂ，则ＯＡ ＝ａ ＋ ｂ ２，在 Ｒｔ△ＡＤＯ中，ＯＤ２＝ ＯＡ·ＯＥ ＝ ＯＡ（ＯＡ － ＡＥ）．所以５３中学数学杂志 ２０１３ 年第 １１ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ ｂ － ａ ２æ èçö ø÷２ ＝ａ ＋ ｂ ２æ èçö ø÷２ －ａ ＋ ｂ ２·ＡＥ，所以 ＡＥ ＝２ａｂ ａ ＋ ｂ，ＡＤ ＝ＯＡ２－ ＯＤ２＝ａ ＋ ｂ ２æ èçö ø÷２ －ｂ － ａ ２æ èçö ø÷２ ＝ａｂ，在 Ｒｔ△ＡＧＯ 中，ＡＧ２＝ ＡＯ２＋ ＯＧ２，可得 ＡＧ ＝ａ２＋ ｂ２２．ＡＦ ＝ ＡＯ ＋ ＯＦ ＝ ＡＯ ＋ （ＡＯ － ＡＥ） ＝ａ ＋ ｂ ２＋ （ａ ＋ ｂ ２－２ａｂ ａ ＋ ｂ）＝ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ．因此，由图象可知，ＡＥ ＜ＡＤ，得２ａｂ ａ ＋ ｂ＜ａｂ，由 ＡＤ ＜ ＡＯ，得ａｂ ＜ａ ＋ ｂ ２，由 ＡＯ ＜ ＡＧ，得ａ ＋ ｂ２＜ａ２＋ ｂ２２，由 ＡＧ ＜ ＡＦ，得ａ２＋ ｂ２２＜ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ ∈Ｒ），当ａ ＝ｂ 时，上述不等式两边相等，等号成立，综述可得２ａｂ ａ ＋ ｂ≤ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２≤ａ２＋ ｂ２２≤ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ ∈ Ｒ）．图 ２模型二 如图 ２，ＡＢ 为直径，Ｄ 是半圆上一点，过 Ｄ作ＤＣ⊥ＡＢ于Ｃ，连ＯＤ，过Ｃ作 ＣＥ ⊥ ＯＤ 于 Ｅ，以 Ｏ 为圆心ＯＣ 为半径作半圆，过Ｏ作ＦＯ ⊥ ＯＤ 交半圆于 Ｆ，过 Ｆ作 ＦＤ 的垂线交 ＤＯ 的延长线于 Ｇ，则根据图中线段的大小直观判断其大小．即 ＣＥ ≤ ＣＤ ≤ ＯＤ ≤ ＤＦ ≤ＤＧ；设ＢＣ ＝ ａ，ＡＣ ＝ ｂ，则ＣＤ ＝ａｂ，ＣＤ２＝ ＤＯ·ＤＥ，所以ＤＥ ＝ＣＤ２ ＤＯ＝ａｂ ａ ＋ ｂ ２＝２ａｂ ａ ＋ ｂ，由ＣＤ ＞ ＤＥ，得２ａｂ ａ ＋ ｂ＜ａｂ，又在 Ｒｔ△ＯＤＣ 中，由 ＯＤ ＞ ＣＤ，得ａｂ ＜ａ ＋ ｂ ２，在 Ｒｔ△ＯＤＦ 中，ＤＦ２＝ ＯＦ２＋ ＯＤ２＝ｂ － ａ ２æ èçö ø÷２＋ａ ＋ ｂ ２æ èçö ø÷２ ＝ａ２＋ ｂ２２，所以ＤＦ ＝ａ２＋ ｂ２２，由ＤＯ ＜ＤＦ，得ａ ＋ ｂ２＜ａ２＋ ｂ２２，在 Ｒｔ△ＤＦＧ 中，ＤＦ２＝ ＤＯ·ＤＧ， 则 ＤＧ ＝ＤＦ２ ＤＯ＝ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ， 又由 ＤＦ ＜ ＤＧ， 得ａ２＋ ｂ２２＜ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ ∈ Ｒ）．当 ａ ＝ｂ 时，即 Ｃ，Ｂ 重合时，不等式的两边相等，即等号成立．综上所述２ａｂ ａ ＋ ｂ≤ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２≤ａ２＋ ｂ２２≤ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ ∈ Ｒ）．图 ３模型三 如图 ３，设四边形 ＡＢＣＤ 是一个直角梯形， 线段 ＥＦ，ＧＨ，ＭＮ，ＰＱ，均与上下底平行，ＰＱ 等分梯形面积，ＭＮ 为中位线，ＧＨ 将梯形分成两个，且梯形 ＡＧＨＤ ∽ 梯形 ＧＢＣＨ，ＥＦ过梯形的对角线 ＡＣ、ＢＤ 的交点 Ｉ．设 ＡＤ ＝ ａ，ＢＣ ＝ ｂ，则ＭＮ ＝ａ ＋ ｂ ２．由梯形ＡＧＨＤ∽梯形ＧＢＣＨ，ＧＨ是ＡＤ与ＢＣ 的比例中项，所以 ＧＨ ＝ａｂ，ＥＦ 过梯形的对角线 ＡＣ、ＢＤ 的交点 Ｉ，则 ＥＩ ＝ ＩＦ，ＥＩ ＡＤ＝ＢＩ ＢＤ，ＩＦ ＢＣ＝ＤＩ ＢＤ，且 ＤＩ ＋ ＢＩ ＝ ＢＤ，所以 ＥＩ ＝ａｂ ａ ＋ ｂ，所以 ＥＦ ＝２ａｂ ａ ＋ ｂ．由 ＥＦ ＜ ＧＨ 得，２ａｂ ａ ＋ ｂ＜ａｂ，由 ＧＨ ＜ ＭＮ 得，ａｂ ＜ａ ＋ ｂ ２．ＰＱ 平分梯形面积，设梯形 ＡＰＱＤ 的高为 ｈ，梯形ＡＢＣＤ 的高为 Ｈ，ＰＱ ＝ ｃ，则ｈ Ｈ＝ｃ － ａ ｂ － ａ，所以ｈ ＝ｃ － ａ ｂ － ａＨ，所以ＳＡＰＱＤ＝１ ２（ａ ＋ｃ）ｈ ＝１ ２ＳＡＢＣＤ＝１ ２·１ ２（ａ ＋ ｂ）Ｈ，１ ２（ａ ＋ ｃ）ｃ － ａ ｂ － ａ·Ｈ ＝１ ２·１ ２（ａ ＋ ｂ）Ｈ，所以 ｃ２＝ａ２＋ ｂ２２， 所以 ｃ ＝ａ２＋ ｂ２２，即 ＰＱ ＝ａ２＋ ｂ２２，又由 ＭＮ ＜ ＰＱ， 得ａ ＋ ｂ ２＜ａ２＋ ｂ２２，以Ｎ为圆心ＰＱ为半径的圆交ＡＢ于 Ｒ， 作 ＲＳ ∥ ＡＤ 交 ＤＣ 于 Ｓ， 则 Ｒｔ△ＭＮＲ ～Ｒｔ△ＮＲＳ，所以 ＲＮ２＝ ＭＮ·ＲＳ， 所以 ＲＳ ＝ＲＮ２ ＭＮ＝ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ．又由于ＰＱ ＜ ＲＳ，则ａ２＋ ｂ２２＜ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ．当ａ＝ｂ不等式两边取等号，所以有２ａｂ ａ ＋ ｂ≤ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２６３ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１３ 年第 １１ 期≤ａ２＋ ｂ２２≤ａ２＋ ｂ２ａ ＋ ｂ（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ∈Ｒ） 当然此题如不用直角梯形同样可以证明（这里不再赘述）．图 ４模型 四 如 图 ４， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＤ，ＡＭ分别是斜边 ＢＣ 上的高线、中线，作 ＤＨ∥ＡＭ，ＡＨ⊥ＤＨ于Ｈ，延长ＨＡ至 Ｇ，使得 ＡＧ ＝ ＤＭ，设 ＢＤ ＝ａ，ＤＣ ＝ ｂ，则ＡＭ ＝ａ ＋ ｂ ２，ＡＤ ＝ａｂ，Ｒｔ△ＤＨＡ ～ Ｒｔ△ＡＤＭ，ＨＤ ＝ＡＤ２ ＡＭ＝ａｂ ａ ＋ ｂ ２＝２ａｂ ａ ＋ ｂ，又ＤＭ ＝ＡＧ ＝ｂ － ａ ２，所以ＭＧ ＝ＡＭ２＋ ＡＧ２＝ａ ＋ ｂ ２æ èçö ø÷２ ＋ｂ － ａ ２æ èçö ø÷２ ＝ａ２＋ ｂ２２，由图 ４ 可知，ＨＤ ≤ ＡＤ ≤ ＡＭ ≤ ＭＧ（当 Ｒｔ△ＡＢＣ 为等腰三角形时，即 ａ ＝ ｂ 时取到等号），所以有２ａｂ ａ ＋ ｂ≤ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２≤ａ２＋ ｂ２２（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ ∈ Ｒ）．图 ５模型五 如图 ５，作半圆周 ｌ，过点 Ｏ 及点 Ｃ 分别作 ＡＢ的垂线交 ｌ 于点 Ｄ 及点 Ｅ．过 Ｅ作 ＯＤ 的垂线 ＥＦ 于 Ｆ，过 Ｆ 作ＡＦ 的垂线交ＡＢ 于Ｇ，连结ＡＥ，ＢＥ，ＣＤ，设 ＣＢ ＝ ａ，ＡＣ ＝ ｂ（ｂ ≥ａ ＞ ０），则 ＯＤ ＝ａ ＋ ｂ ２，ＣＥ ＝ａｂ，ＯＣ ＝ｂ － ａ ２，ＣＤ ＝ａ２＋ ｂ２２，由图 ５，观察 ＯＤ，ＣＥ，ＣＤ，ＯＧ 的关系，在△ＡＯＦ 中，ＡＯ ＝ ＯＤ ＞ ＯＦ，所以∠ＡＦＯ ＞ ∠ＦＡＯ，从而 ∠ＣＧＦ ＞ ∠ＯＦＧ，所以 ＯＦ ＞ ＯＧ，即 ＯＧ ＜ ＣＥ．所以 ＯＧ ≤ ＣＥ ≤ ＯＤ ≤ ＣＤ，当 Ｏ、Ｃ 重合时，即 ａ ＝ ｂ 时取到 等 号， 所 以 有２ａｂ ａ ＋ ｂ≤ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２≤ａ２＋ ｂ２２（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ ∈ Ｒ）．模型六 如图 ６，第 ２４ 届国际数学家大会的会标正 方形 ＡＢＣＤ，内接正方形 ＥＦＧＨ，设 ＡＥ ＝ ａ，ＢＥ ＝ ｂ，由图可知Ｒｔ△ＢＥＦ的内接正方形ＢＲＳＴ边长易得为ａｂ ａ ＋ ｂ，则ａｂ ａ ＋ ｂæ èçö ø÷２ ≤ａｂ ４，所以２ａｂ ａ ＋ ｂ≤ａｂ，图 ６又由 ＳＡＥＱＨ＋ ＳＢＦＭＥ＋ ＳＦＣＧＮ＋ＳＤＧＰＨ＋ ＳＭＮＰＱ＝ ＳＡＢＣＤ，所以 ４ａｂ ＋ （ｂ － ａ）２＝ （ａ ＋ ｂ）２，则 ４ａｂ ≤ （ａ ＋ ｂ）２，ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２（当 ａ ＝ｂ 时等号成立）．从正方形的各部面积之间的关系，可得到（ａ ＋ ｂ）２＝ ２（ａ２＋ ｂ２） － （ｂ － ａ）２≤２（ａ２＋ ｂ２），所以ａ ＋ ｂ ２≤ａ２＋ ｂ２２（当ａ ＝ ｂ 时等号成立），所以２ａｂ ａ ＋ ｂ≤ａｂ ≤ａ ＋ ｂ ２≤ａ２＋ ｂ２２（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，ａ，ｂ ∈ Ｒ）．图 ７模型七 如图７，设ＢＣ ＝ａ，ＡＢ ＝ ｂ（ｂ ≥ａ ＞ ０），四边形ＡＢＣＤ 为矩形，ＢＥＦＧ、ＨＩＤＪ 是Ｒｔ△ＡＢＣ，Ｒｔ△ＡＣＤ 的内接正方形，线段 ＪＨ 延长交 ＧＦ 于Ｋ，点 Ｍ 是 ＡＣ 上一点，过 Ｍ 分别作 ＭＰ 。