【高考数学精讲精练】第6讲 一网打尽外接球与内切球14大核心考点问题（精讲精练）（原卷版）.docx

高考数学·精讲精练】第6讲一网打尽外接球与内切球14大核心考点问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：正方体、长方体外接球核心考点二：正四面体外接球核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球核心考点四：直棱柱外接球核心考点五：直棱锥外接球核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型核心考点七：侧棱为外接球直径模型核心考点八：共斜边拼接模型核心考点九：垂面模型核心考点十：二面角模型核心考点十一：坐标法核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型核心考点十三：锥体内切球核心考点十四：棱切球【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题（理））已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）A． B． C．1 D．【方法技巧与总结】1、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1 图2 图3 图4【核心考点】核心考点一：正方体、长方体外接球【规律方法】1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（    ）A． B．4 C． D．.例2．（2022·陕西西安·模拟预测（文））长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．例3．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________．核心考点二：正四面体外接球【规律方法】如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．【典型例题】例4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知正四面体外接球表面积为，则该正四面体棱长为______；若为平面内一动点，且 ，则最小值为______．例5．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.例6．（2022·福建·福州三中模拟预测）表面积为的正四面体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球【规律方法】四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．【典型例题】例7．（2022·全国·高三专题）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为___________.例8．（2022·全国·高三专题）已知四面体中，，，，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（   ）A． B． C． D．例9．（2020·全国·模拟预测（文））在三棱锥中，若，，，其外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．核心考点四：直棱柱外接球【规律方法】如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【典型例题】例10．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（    ）A． B． C． D．例11．（2022·湖南岳阳·高三阶段）已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（  ）A． B． C． D．例12．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（    ）A． B． C． D．核心考点五：直棱锥外接球【规律方法】如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②．【典型例题】例13．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．例14．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．例15．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型【规律方法】1、正棱锥外接球半径： ．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．【典型例题】例16．（2022·江西·金溪一中高三阶段（文））在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．例17．（2022·全国·高三专题）已知正三棱锥，其外接球球的半径为，则该正三棱锥的体积的最大值为__________．例18．（2022·全国·高三专题）已知正三棱锥的棱长为，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为_______．例19．（2022·全国·高三专题）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．例20．（2022·全国·高三专题）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.核心考点七：侧棱为外接球直径模型【规律方法】找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．【典型例题】例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱锥的外接球的表面积为是该球的直径，，则三棱锥 的体积为_____.例22．（2022·河南·一模（理））三棱锥的外接球的表面积为，AD是该球的直径，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为______．例23．（2021·全国·高三专题（文））已知三棱锥P﹣ABC中，，AC=2，PA为其外接球的一条直径，若该三棱锥的体积为，则外接球的表面积为___________．核心考点八：共斜边拼接模型【规律方法】如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．【典型例题】例24．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．例25．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为 例26．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．核心考点九：垂面模型【规律方法】如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2【典型例题】例27．（2022·全国·高三专题）三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______例28．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为________．例29．（2022·全国·高三专题）三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为______例30．（2021·全国·高三专题）已知在三棱锥中， ，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为__________．核心考点十：二面角模型【规律方法】如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 【典型例题】例31．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为______.例32．（2022·江西赣州·高三阶段（文））已知菱形的边长为2，且，沿把折。