同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章 重积分.doc

高等数学教案 §9 重积分 第九章 重积分教学目的：1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质,知道二重积分的中值定理2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法.3. 掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法.8、会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)教学重点：1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算 3、二、三重积分的几何应用及物理应用教学难点：1、 利用极坐标计算二重积分；2、 利用球坐标计算三重积分；3、 物理应用中的引力问题 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy面上的闭区域D， 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 它的顶是曲面z=f（x， y), 这里f（x, y）³0且在D上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先， 用一组曲线网把D分成n个小区域 Ds 1， Ds 2， × × × , Ds n 。

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线， 作母线平行于z轴的柱面， 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. 在每个Ds i中任取一点（x i , h i）， 以f （x i ， h i）为高而底为Ds i的平顶柱体的体积为 f (x i ， h i） Dsi (i=1， 2, × × × ， n ). 这个平顶柱体体积之和 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限， 即 . 其中l是个小区域的直径中的最大值. 2. 平面薄片的质量. 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D， 它在点（x, y）处的面密度为r(x， y）, 这里r（x, y)>0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M. 用一组曲线网把D分成n个小区域 Ds 1, Ds 2, × × × ， Ds n . 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: r（x i , h i)Ds i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: . 将分割加细, 取极限， 得到平面薄片的质量 . 其中l是个小区域的直径中的最大值。

定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 Ds 1， Ds 2, × × × ， Ds n 其中Ds i表示第i个小区域， 也表示它的面积. 在每个Ds i上任取一点（x i, hi)， 作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时， 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f（x, y）在闭区域D上的二重积分, 记作， 即 f（x, y)被积函数, f(x, y）ds被积表达式, ds面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 积分和 直角坐标系中的面积元素： 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D， 那么除了包含边界点的一些小闭区域外， 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域Dsi的边长为Dxi和Dyi, 则Dsi=DxiDyi， 因此在直角坐标系中， 有时也把面积元素ds 记作dxdy, 而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性： 当f(x， y)在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f（x， y）在D上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f（x, y)在闭区域D上连续, 所以f（x， y)在D上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义： 如果f(x, y）³0, 被积函数f（x， y）可解释为曲顶柱体的在点（x， y)处的竖坐标， 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f（x, y)是负的， 柱体就在xOy 面的下方， 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的。

二. 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数, 则 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D分为两个闭区域D1与D2, 则 . 性质3 (s为D的面积) 性质4 如果在D上, f(x， y）£g(x， y）， 则有不等式 特殊地有 . 性质5 设M、m分别是f（x， y)在闭区域D上的最大值和最小值, s为D的面积, 则有 . 性质6（二重积分的中值定理) 设函数f（x， y)在闭区域D上连续， s 为D的面积, 则在D上至少存在一点(x， h)使得 2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X--型区域: D ： j1（x)£y£j2（x)， a£x£b Y ——型区域: D ： y1（x）£y£y2（x)， c£y£d . 混合型区域： 设f(x， y)³0， D=｛（x, y）| j1（x）£y£j2（x)， a£x£b}. 此时二重积分在几何上表示以曲面z=f（x, y）为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积。

对于x0Î［a, b], 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间[j1（x0）, j2（x0)]为底、以曲线z=f（x0, y)为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为 . 即 V=. 可记为 类似地， 如果区域D为Y --型区域: D ： y1(x)£y£y2(x), c£y£d , 则有 例1. 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 解: 画出区域D 方法一. 可把D看成是X——型区域： 1£x£2, 1£y£x 注: 积分还可以写成. 解法2 也可把D看成是Y——型区域: 1£y£2, y£x£2 . 于是. 例2 计算, 其中D是由直线y=1、x=—1及y=x所围成的闭区域. 解 画出区域D, 可把D看成是X-—型区域: —1£x£1, x£y£1 于是 也可D看成是Y——型区域：-1£y£1, —1£x〈y 。

于是 例3 计算, 其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域. 解 积分区域可以表示为D=D1+D2， 其中; . 于是 积分区域也可以表示为D： —1£y£2, y2£x£y+2 于是 讨论积分次序的选择 例4 求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V1, 然后再乘以8就行了 第一卦限部分是以D={(x， y）| 0£y£, 0£x£r｝为底， 以顶的曲顶柱体. 于是 二 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量r 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为： ， 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(x i, h i), 则有 ， . 于是 ， 即 。

若积分区域可表示为j 1(q）£r£j 2(q）， a£q£b, 则 . 讨论:如何确定积分限? . 例5 计算， 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为 0£r£a , 0£q £2p . 于是 注: 此处积分也常写成. 利用计算广义积分： 设D1=｛（x, y)｜x2+y2£R2, x³0, y³0｝, D2={(x， y)|x2+y2£2R2, x³0, y³0}， S=｛(x, y)|0£x£R， 0£y£R} 显然D1ÌSÌD2 由于, 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 . 因为 ， 又应用上面已得的结果有 ， ，于是上面的不等式可写成. 令R®+¥, 上式两端趋于同一极限, 从而. 例6 求球体x2+y2+z2£4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. , 其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域。

在极坐标系中D可表示为 0£r£2a cosq ， 于是 3 三重积分一、三重积分的概念 定义 设f（x, y， z)是空间有界闭区域W上的有界函数 将W任意分成n个小闭区域 Dv1, Dv2， × × × , Dvn 其中Dvi表示第i个小闭区域, 也表示它的体积 在每个Dvi上任取一点(xi， hi, zi）, 作乘积f（x i， h i, z i)Dvi(i=1， 2， × × ×, n）并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在， 则称此极限为函数f(x， y, z）在闭区域W上的三重积分, 记作 即 三重积分中的有关术语： ——积分号， f（x, y, z）--被积函数, f（x, y， z)dv——被积表达式, dv体积元素, x， y， z——积分变量， W——积分区域. 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分W， 则Dvi=Dxi DyiDzi ， 因此也把体积元素记为dv =d。