【精品】高三数学《函数单调性在不等式中的运用》教案.doc

函数单调性在不等式中的运用函数单调性是函数的重要性质之一，其有着广泛应的应用.巧妙利用函数的单调性可解抽 象函数不等式、证明函数型不等式、求解不等式中参数的取值范围等一、解抽象不等式抽象函数不等式常利用函数的单调必性，化归为函数自变量的大小，脱去函数中的“f”，再利用函数单调性的性质从而化为不等式求解基本方法：若函数^3)在区间上单调递增，且不，为€则由(为可得：X| < x2;若函数/(尤)在区间Q上单调递减，且X】，x2e D,则由可得：X] >x2,利用此性质，即可确定自变量之间的关系例1.已知偶函数/⑴在区间[0,+8)单调增加，则满足/(2x-l)< /(-)的X取值范围是1 2 1 2 1 2 1 2(A) (-, -) (B) - ) (C)(上，-) (D)-)3 3 3 3 2 3 2 3【解析】由于f(x)是偶函数，故f(x) = f(lxl)・・・得f(l2x-ll)而/(1) = 0>则八_])= _/⑴=0,当 x〉OH、j, /(x)<0 = /(I)；当 xvO 时，/(x)>o = /(-I), 乂/。

)在(0, + 8)上为增函数，则奇函数在(*,0)上为增函数，OvjvvI,或%1. 证明函数不等式利用函数单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是高考的热点 其主要思想是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上直接 或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数再通过研究该函数的单调性或求 出该函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数 值在给定的区间上恒成立等，从而证得不等式.常用的证明方法有：函数单调性法与函数最值 法O方法一：函数单调性法(端点函数法)函数单调性法(端点函数法)证明不等式的精髓是：先作差构造一辅助函数，对辅助函数求 导，判断辅函数在指定区间上的单调性(注：不必求函数的最值)，从而达到证明的目的< R(x)=g(x) ・f(x)在区间(a,b)内可导，且满足下列条件：1) R/(x)>0, R(a)=O 时，则有 f(x) >g(x)2) R/(x)VO, R(a)=O 时，则有 f(x) < g(x)宠理心 < R(x)=g(x)-f(x)在区间(a,b)内可导，且满足下列条件：1) R/(x)>0, R(b)=0 时，则有 f(x) < g(x)2) R/(x)VO, R(b)=0 时，则有 f(x) >g(x)定理理解与解释：一般地，%1 欲证f(x) >g(x)在区间(a,b)内成立时,可先作差构造出函数R(x)=f(x)-g(x), 补充定义R(0)=0,然后对R(x)求导，判断R(x)在区间(a,b)内的单调性。

证R(x)在，b)上为增函数， 且R(a) > 0；或证R(x)在(a,b］上为减函数，且R(b) < 0.%1 欲证f(x) < g(x)在区间(a,b)内成立时，可先作差构造出函数R(x)= f(x) - g(x), 补充定义R(0)=0,然后对R(x)求导，判断R(x)在区间(a,b)内的单调性证R(x)=g(x).f(x)在［a,b)上为增函数且h(a) > 0,或证 R(x)=g(x) -f(x)在(a,b］JL为减函数且 h(b) > 0.定理3、设f(X), g(x)在［/?］上〃阶可导，(1) F”(a) = g"，(a) S0,l,2...,〃-1(2) fn\x)>g(n\x)(或f(〃)(x)< g⑴(x))则在(a,b)内有/(x) > g(x)(或/(x)< g(x)基4方怯用单调世弦证勰系著式，其步藤一奴是：构造可导务叙——研究单例隹——得出系答关系——整理得出猪论1)构造辅助函数/(X):%1 利用不等式两边之差构造辅助函数；或变形(代换、比商等)后再作差构造函数%1 利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；%1 若所证的不等式涉及到皋指数函数，则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.(2)研究/*3)的单调性，从而证明不等式.■用范(S利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数/(W应 在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处/3)的值为0,然后通过在开区 间内广(W的符号来判断/(、)在闭区间上的单调性.解题体会：利用函数的单调性证明不等式时，都是先构造函数.然后通过对函数求导，判定函数的增减 性，从而达到证明不等式的目的.即：—般地，证明 /(x)> g(X),XG (M),或 < g(x),x e (。

们,可以构造函数 F(a-) = f(x) 一 g(x),①如果矿(x)〉(),，则F⑴在(姑)上是增函数,同时若F(a) > 0,由增函数的定义可知,X s (以)时,有 F(x) > 0,即证明 T f(x) > g(x) o②如果矿⑴<0,,则尸⑴在色，幻上是减函数,同时若F(ci) <0,由减函数的定义可知,构造的函数为：X g(x) = ln(l + x) -一 \ + x构造的函数为：g(x) = ln(l + X)— x构造的函数为：g(x)=ex —x —1工€食,们时,有F(x) < 0,即证明了 /(x) < g(x)c证明过程中常常需要构造函数模型，有时还需要对导函数同时加以放缩方可达到目的下 面是构造函数模型的一些基本方法1、用不等式两边之差直接构造函数模型x(1) < ln(l + x) < x ( x〉0).1 + xf (x) = x - ln(l + x)x2(2) x-—o).X2/(x) = ln(l + x)-(x-y)(3) ex >x +1 >x ( x > 0)f (x)=ex —x例 1.设 x〉0,证明 X < ln(l + x) < x1 + x证:令：f(x) = x - ln(l + x) 补充定义 f (0)=0.f/(x) = l — —- =1 + x 1 + x当xe(0,+oc)时，广⑴〉。

f(x)在(0,+8)上是增函数・.・ /(x)>/(0) = 0 即 x-lnx>o,x > ln(l + x)令：g(x) = ln(l + x) ，补充定义 f(0)=0.1 4- Xg/(x) =X(I + X)2当：x > 0时,g,(x)2 O,g(x)在［0, + QO)是增函数即：g (x) = ln(l + x) — > g (O)1 + Xln(l + x) >: O1 + X2 2例 2：设X〉0 ,证明不等式 X-— < ln(l + x) < x 2 2(1+ x)证明：令/(x) = ln(l + x) - (x -一),补充定义 f (0) =0.4^・•・函数人盼在［0, +oo)上单调递增2.•.当xe［0, +oo)时，f(x)>0恒成立 ln(l + x) > x - —. (1)2令g(x) = x— —ln(l + x),补充定义 g (0) =0,则2(1+ x)・ /、 | 4x2 + 4x - 2x2 1 2x 2 _g (x) = I— ； = 7 > 04(1+ x)2 1 + x 4(1+ x)2・•• g(x)在［0,+oo)上单调递增。

9y -.••当x e ［0, +oo)时，x — ln(l + x) > 0恒成立2)2(1+ x)V 2 V 2故由(1)、(2)可知，xc(0,+oo)时、不等式x ———< ln(l + x) < x 成立2 2(1 + x)2、将不等式变形(代换、比商等)后再作差构造函数例 1、 证明：当 x〉1 时,有 1苻(工 +1)〉lnx-ln(x + 2).分析:把要证的不等式变形为些土〉然后把工相对固定看作常数,Inx ln(x +1)并选取辅助函数/耍M.则只要证明/⑴在((),+8)是单调减函数即可.Inx证明令 /(X) = ln( V+l) (X>1)InxInx ln(x +1)于是有 f，(x)= MP 尤 =：lnH)ln("l) In2 x x(x+ l)ln2 x因为 lvx f(x + 1)即 ln(x + l) _ ln(x + 2)Inx ln(x + l)所以 1尸(尤+ 1) > Inx -ln(x + 2).例 2.若 x 仁(0,+oo),求证一-一 0, /. t > 1,x =X t - 1则原不等式等价于,1--< Int l--tvre (l,+oo),「.广(，)> 0,.・. /Q)在］g (I,+8)上为增函数。

/(r)>/(l) = 0,.-. r-1 >lnr.令g(f) = In — 1 +』,.・.g (/) = ! - -V =" t t t tr・.w e (l,+oc),.・.g Q) > o,.・.gQ)在住(l,+8)上为增函数 g(l) = 0". In, > 1-p1 i x +1 1 v In v —.x +1 x x例3、设函数/(x) = x2 +/Hn(x + 1),其中b0.证明对任意的正整数〃,不等式ln(l + i)>4- —都成立.n tr tv证明：当 h = -\ 时，函数 f(x) = x2 -ln(x+ 1), 令函数 h(x) = x3-f(x) = x3 -x2 + In X +1)，..I . o - 1 3x^ + (x — 1)"贝U h (x) = 3x~ -2x + = ・x+1 x+l.••当X G [0,+OO)时，h\X)>0,所以函数/心)在[0,+8)上单调递增,乂/2(0)=/. x € (0,+oo)时,恒有 Z?(x) > /?(0) = 0,即 x3 > x2 - ln(x + 1)恒成立.故当 X e (0,+8)时，有 ln(x + 1) > x2 - x3.对任意正整数乃取x = - g (0,+oo),则^ln(- + l)>-iT--l?.所以结论成立. n n n rr例4.已知是正整数，且\