2012年广东高考数学试题及答案(理科).docx

2012 年广东高考数学试题及答案（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设 i 为虚数单位，则复数A． B． C． D．2．设集合 ， 则A． B． C． D．3．若向量 ， ，则A． B． C． D．4．下列函数中，在区间 上为增函数的是A． B C． D． 5．已知变量 满足约束条件 ，则的最大值为A．12 B．11 C．3 D．-16．某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为A． B． C． D．7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为 0 的概率是A． B． C． D．8．对任意两个非零的平面向量 ，定义 ．若平面向量 满足， 与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则A． B． C． D．二、填空题：本大题共 7 小题．考生 作答 6 小题．每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（9～13 题）9．不等式 的解集为___________．10． 的展开式中 的系数为__________．（用数字作答）11．已知递增的等差数列 满足 ，，则 ________．12．曲线 在点 处的切线方程为__________．13．执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n 的值为8，则输出 s 的值为_______．（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 中，曲线 和曲线 的参数方程分别为 （ 为参数）和 （ 为参数），则曲线 和曲线的交点坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图 3，圆的半径为 1，A，B，C 是圆上三点，且满足 ，过点 A 做圆 的切线与 OC的延长线交与点 P，则 PA= ．三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分 12 分）已知函数 （其中 ）的最小正周期为 ．（1） 求 的值；（2） 设 ，求 的值．17．（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100],(1)求图中 x 的值;(2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 ，求 的数学期望．18．（本小题满分 13 分）如图 5 所示，在四棱锥 中，底面为矩形， 平面 ，点段 上， 平面 ．（1）证明： 平面 ；（2）若 ， ，求二面角的正切值．19．（本小题满分 14 分）设数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 成等差数列．（1）求 的值；（2）求数列 的通项公式；（3）证明：对一切正整数 ，有 ．20．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C: 的离心率 ，且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3．（1） 求椭圆 C 的方程（2） 在椭圆 C 上，是否存在点 ，使得直线 与圆 相交于不同的两点 A、 B，且 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分 14 分）设 ，集合 ， ．（1） 求集合 D（用区间表示）；（2） 求函数 在 D 内的极值点．参考答案选择题答案：1-8： DCAAB CDC填空题答案：9. 10. 2011. 12. 13. 814. 15. 解答题答案16.（1）（2）代入得∵ ∴ ∴ 17.（1）由 得（2）由题意知道：不低于 80 分的学生有 12 人，90 分以上的学生有 3 人随机变量 的可能取值有 0,1,2∴ 18.（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）设 AC 与 BD 交点为 O，连∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 为二面角 的平面角∵ ∴ ∴ ∴ 在 ，∴ ∴ 二面角 的平面角的正切值为 319.（1）在 中令 得：令 得：解得： ，又解得（2）由得又 也满足所以 成立∴ ∴ ∴ （3）（法一）∵∴ ∴（法二）∵∴ 当 时，………累乘得： ∴20.（1）由 得 ，椭圆方程为椭圆上的点到点 Q 的距离当① 即 , 得当② 即 , 得 （舍）∴ ∴ 椭圆方程为（2）当 ， 取最大值 ，点 O 到直线 距离∴又∵解得：所以点 M 的坐标为的面积为21.（1）记① 当 ，即 ，② 当 ，③ 当 ，（2）由 得① 当 ，② 当 ，∵∴ ∴ ③ 当 ，则又∵∴ 。