等于K个小图形重叠部分的面积。.ppt
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等积变形中的面积重叠问题首都师范大学数学科学学院 (100048) 周春荔在图形问题中,已知图形面积经常出现重叠部分 ,巧妙地运用面积重叠部分,对我们解题是有益 的，并往往产生妙趣横生、引人入胜的效果v（I）两个面积相等的图形叠放在一起，则这两个图 形在重叠之外的部分的面积相等v （I）的图示 覆盖中有重叠，数量关系有趣v（II）设k个小图形面积 之和为S，将这k个小图 形放入一个面积恰为S 的大图形内（这k个小 图形没有同时3个重叠 的部分），则在面积为 S的大图形内未被盖住 部分面积之和，等于k 个小图形重叠部分的面 积II）的图示 例1. △ABC的面积为1,中线BM, CN 相交于G. 求△BGC的面积.注意看图！陈省身爷爷说：数学好玩！v 解: △ABM与△CAN的面积都等于0.5. 其面积和等于△ABC的面积1. 因此，没 盖住的△BCGv的面积就等于重叠部分ANGM的面积. 连接AG，设△AGN面积为x, △AGM面 积为y. 则v于是得x+y=1/3v即ANGM的面积等于1/3，也就是 △BGC的面积等于1/3.仰望天空，脚踏实地。
v例2. 如图梯形ABCD 中 ，AB//DC.绿色三角形 的面积是14平方厘米， 红色部分的面积是29.5 平方厘米问：黄色三 角形的面积是多少平方 厘米？v 答：黄色三角形的面 积是15.5平方厘米看图：答：涂红色两块图形的面积大 v例3.右图所示为一个长方 形. AE:ED=9:5, BF:FC=7:4. 问：涂红色的两块图形 的面积与涂蓝色的两块 图形的面积相比较，哪 个大? 请说明理由.美丽花瓣中的数学问题v例4. 右图是一个对称的 图形（由分别与一个大 圆相切的四个共点的小 的等圆组成），问黑色 部分面积大还是阴影部 分面积大？答：一样大v理由：因为是对称图形，四个小圆半径相等 ，且恰好是大圆半径的一半这样，每个小 圆面积等于大圆面积的1/4，四个小圆面积之 和正好等于大圆面积v阴影部分是四个小圆相重迭的部分，而黑色 部份则是由于重迭而空余出来的部分，所以 这两部份面积相等数学思维是美妙的v右图是一个园林的 规划图，其中，正方 形的3/4是草地；圆 的6/7是竹林；竹林 比草地多占地450平 方米.问：水池占地 多少平方米?答：水池占地150平方米。
v解：把水池的面积作为1个单位，那么草地的面积 便是3个单位，而竹林面积是6个单位这是由于 把正方形面积分作4等分时，草地占3份而水池占l份 ；同理，把圆面积分成7等份时，竹林占6份而水池 占1份）从而竹林比草地多出的面积，是6－3＝3 个单位3个单位的面积是450平方米，可见1个单 位的面积是450÷3＝150平方米，这就回答了题中所 问的问题六角形的花瓣，美妙的思维，简洁的答案v例6．如图所示, 在面积为S 平方厘米的圆O中, 有一个 内接的正六边形ABCDEF, 其面积为S0阴影部分是 以该正六边形的3个顶点B 、D、F为圆心，正六边形 边长为半径的圆弧围成，求 阴影部分的面积等于多少平 方厘米?想一想，你观察到其中的奥妙了吗？v提示：分别以B、D、F为圆心，正六边形边 长为半径的圆扇形，其面积都是圆O面积的 1/3三个扇形总面积等于圆O的面积S，并 且重叠覆盖在圆O内部阴影花瓣为重叠部 分，面积为S0的六边形外的六个弓形是未被 盖住的部分根据面积重叠原理Ⅱ，阴影花 瓣部分的面积等于S-S0平方厘米 想一想，试变条件作推广v思考：如图所示, 在面积为 S平方厘米的圆O中,有一个内 接的正六边形ABCDEF,其面 积为S0。
阴影部分是以该正 六边形的6个顶点为圆心，正 六边形边长为半径的圆弧围 成，求阴影部分的面积等于多 少平方厘米? （答: 等于2S-2S0平方厘米） v例7．点E和F分别是正方 形ABCD的边BC和CD的 中点线段AE和BF交于 点K问三角形AKF与四 边形KECF的面积哪个大 ？v 答：三角形AKF的面积 大 提示：△PBM、△QMN、△RNC面积之和与长方形 EBCF的面积相等，都等于60平方厘米所以没重叠的部分面积相等易知等于15平方厘米 v 例8. 长方形ABCD的面 积为120平方厘米.EF是一 组对边AB、CD的中点连 线. M、N是BC边上两点， P、Q、R为AD边上的点 试求图中4块阴影面积的总 和是多少平方厘米？例9．如图所示长方形ABCD的面积为120平方 厘米. 四边形OEFG的面积是9平方厘米试求 图中3块阴影图形的总面积v提示：△AFC、△DBF 面积之和为60平方厘米 . 中间有重叠部分四边 形OEFG的面积是9平 方厘米所以图中非阴 影部分面积为60-9=51 平方厘米因此图中3 块阴影图形的总面积为 69平方厘米数学是锻炼思维的健美操v 例10. 如图，圆O中直 径AB与CD互相垂直. AB=10厘米。
以C为圆 心，CA为半径画得 . 则月牙形（阴影部分） 的面积是 平方厘米. 答：月牙形的面积是25平方厘米.v理由：半圆的面积= 平方厘米v△ABC的面积=25平方厘米. 所以AC2=50.v扇形 的面积= 半圆ABD的面积v根据面积重叠原理（I）可知：v月牙形（阴影部分）的面积=△ABC的面积v=25平方厘米.数学是理性思维的演练场v例11.如图正方形面 积为16平方厘米.A 点在矩形DEGF的边 EF上,G点在BC上. 若FG与AB交于点P, 求△PAF与△PBG 面积之差是多少平方 厘米?答： △PAF与△PBG 面积之差是 2.16平方厘米v提示: 连接AG.易知正方形ABCD边长为 4厘米. △ADG面积为8平方厘米. 也就是矩形DEGF的面积为16平方厘米. 所以 厘米. 可以求得AE=2.4厘米, CG=3厘米. 由重叠原理, 知S① + S③ = S② + S④. 所以 S① - S② = S④ - S③. 而 S④=6平方厘米, S③=3.84平方厘米. 所以 S① - S② = S④ - S③=6-3.84=2.16平 方厘米.例12．如右图所示, 是一个正方形，几块 阴影部分的面积如图所示，则四边形的面 积为____。
v答.24.v解：假设是“房间”，是“地毯”.v因为△AND面积=△CDM面积 =0.5×ABCD的面积，如果这 两个地毯不重叠，它们完全可 以覆盖房间.因此，重叠部分 的面积即等于未被覆盖表面的 面积，即DPQR面积= △APM 面积+？面积+ △CRN面积， 所以，v“？面积”=51-15-12=24.数学是个好东西，社会主义需要数学v例13. 在面积是1的正方 形ABCD中, 如图, E为BC 上一点,BE=2CE , F为CD 上一点, CF=2DF，连接 AE，AF分别交BD于M， N. 试求两个阴影三角形 面积的和.v解：易知，△ABE的面积= ，△ADF的面积= .△ABD的面积= . 显然，△ABE的面积与△ADF的面积 之和等于△ABD的面积，由覆盖重叠原理可知，两个阴影部分三角形面积的和，等于△AMN的面积. 因此，要求两个阴影三角形面积的和，只需求出△AMN的面积即可.而要求△AMN的面积，只需计算出MN：BD就可以了.为此，连接BF，DE.△ABF的面积与△ADE 的面积都等于 .v v由于 ，所以 ，v所以 。
因此v所以 也就是，题图中两个v阴影三角形面积的和=数学是打开科学大门的钥匙v例14. 如图，半径为5厘米 的大圆内有半径为3厘米 和4厘米的两个小圆.两个 小圆与大圆都只有一个公 共点，分别是P和Q. 如果 两个小圆相交部分的面积 为15平方厘米，阴影（甲 ）的面积为7平方厘米， 则阴影（乙）的面积为多 少平方厘米.答：阴影（乙）的面积为8平方厘米.v解：大圆面积是 平方厘米，两个小圆面积 和为 ，v即大圆面积等于内部的两个小圆面积之和， 所以，两个小圆相交重叠部分的面积（15） 等于阴影（甲）、（乙）面积之和，由于阴 影（甲）的面积为7平方厘米，因此阴影（乙 ）的面积为15-7=8平方厘米.例15. P是长方形ABCD内一点，三角形 PAB的面积等于5，三角形PBC的面积等 于13.问三角形PBD的面积是多少？看一看，想一想，思维长翅膀例16. 如图，已知凸四边 形ABCD中，边AB和 CD的中点为M和N， BC与AD的中点为P和Q ，AN、CM、BQ、DP 的交成四边形WXYZ.证 明：四边形WXYZ的面积等于四个小三角 形的面积之和.证明，就是精准简练的实话实说v例17.如右图，已知凸 四边形ABCD中，边AB 和CD的中点为K和M， BM与CK的交点为P， AM与DK的交点为Q.证 明三角形BPC与三角形 AQD的面积之和等于四边形MQKP的面积.请先积极、独立地思考v例18.ABCD为任意四边形 ，M, N分别为 AD, BC中点，MB交AN于 P; MC交DN于Q. 若四边形 ABCD的面积为150，四边 形MPNQ的面积是50，求 ：四个三角形APM，DQM ，BPN和CQN的面积和是 多少? (第8届华杯赛总决赛一试试题) 遇到困难可看下面的解答图中辅助线是本题最简单的证法例19. 凸四边形ABCD的两组 对边中点连线EF, GH相交 于O.求证: 两块红色四边形 的总面积=四边形ABCD面 积的一半。
如何证，自己想，试试你的分析能力v例20. 凸四边形ABCD的 两组对边中点连线EF, GH相交于O.连接AH， CG分别交EF与M，N. 则 （1） （2）答：三角形PQR的面积是1/7例21.如图 中，若 v ，求 的面积.这样添线〉答：三角形PQR的面积是81/560v例22.如图 中， 若 ，求 的面积.注意：分步解题，步 步细心，最后综合， 可得解答此题设计精巧，试试你的身手例23. 过△ABC内部的一 点O引平行于各边的线 段AA1，BB1，CC1分 △ABC为四个三角形和 三个四边形，如图所示. 证明：分别以A，B，C 为顶点的三个阴影三角 形的面积之和等于第四 个阴影三角形的面积.独立解答此题，理应没有问题例24. 如图所示，平行四 边形ABCD的面积为24 平方厘米.△ADM与 △BCN的面积之和为 7.8平方厘米，求阴影 四边形FMON的面积是 多少平方厘米？(第13届华杯赛决赛试题)答：六边形A1B1C1D1E1F1的面积是670平方厘 米v例25.一个六边形ABCDEF 的面积是2010平方厘米。
已知△ABC，△BCD， △CDE，△DEF，△EFA ，△FAB的面积都等于335 平方厘米又图中6个阴影 三角形面积之和为。
