高数线性代数 第3章 线性方程组.ppt

1,第3章 线性方程组,线性方程组是线性代数研究的主要对象之一. 在这一章里，我们首先介绍线性方程组的高斯消元法，由浅入深地讨论一般线性方程组解的存在性，最后讨论解的结构和求解方法 .,,2,第3章 线性方程组,第3.1 节 线性方程组的概念 第3.2 节 高斯消元法 第3.3 节 线性方程组解的结构,3,第3.1 节 线性方程组的概念,教学目的：掌握n元线性方程组概念及三角形方程组和梯形方程组 教学重点：三角形方程组和梯形方程组 教学难点：梯形方程组有解的充要条件 教学方法：讲授 教学步骤：如下：,4,定义3.1.1,称,其中 xi为变量，ai为常量（i=1，2，…，n）.,定理3.1.1 设非零线性方程的非零首项变量xp，则有,为n元线性方程，,这里,当cj 为一个定值时,为特解; 当cj ∈R时为方程的通解或一般解.,（1）对j  p的任一组值xj ,可以得到方程的一个特解；这里称变量xj为自由变量，自由变量即可以任意取值的变量； （2）由（1）可以求得方程的任一个解和解集合，这个解集合称为方程的通解或一般解.,5,例3,（1）求这个线性方程的三个特解. （2）求这个线性方程的一般解（通解）,解,,（1）这里x1为非零首项未知元， x2, x3为自由变量，给x2, x3取任意值，可以解得x1.,对自由变量常用如下取值方法:,6,续,(2)为求得线性方程的一般解，需要给自由变量x2, x3取任意值，这里不妨设 x2= c1; x3 = c2,, c1, c2∈R,得,故,,,7,为原线性方程的通解，其中c1, c2为参数.,参数形式通解,向量形式通解,8,2.n个变量m个方程的线性方程组,设二元线性方程组,(*),下面用图示和例子说明方程组(*) 有解（包括有惟一解和有无穷组解）以及无解的情形.,已知当系数行列式不为零时，二元线性方程组 有惟一解,即,9,图示,例如,,,,,,,,,,方程组有惟一解情形,方程组有无穷解情形,方程组无解情形,10,例4. a,b为何值时,下面线性方程组无解,有惟一解,有无穷解?,解,a=6, b≠-15时无解. 这时两个方程表示的直线相互平行，没有交点.,a≠6时,由克莱姆法则,该方程组有惟一解, 此时两个方程表示的平面直线有一个交点;,a=6, b=-15时,显然一个方程的任意一组解均为该方程组的解，即该方程组有无穷多组解; 这时方程表示的两条直线重合.,11,注 二元线性方程组解的讨论，可以类似地推广到n元的情形.,为求该方程组的一般解，只须求x-2y=5的全部解即可. 不妨取y=c，c 为任意常数，解得 x=5+2c，故对应该方程组的一般解为,或表示为向量形式：,12,定义3.1.3 n个变量m个方程的线性方程组称作n元线性方程组,形如,当常数项bi不全为0时, 称该方程组为非齐次线性方程组;当常数项bi全为零时, 称之为齐次线性方程组, 也称作非齐次线性方程组的导出组.,其中 xj为变量，aij为第i个方程变量xj的系数，bi为第i个方程的常数项,这里i=1，2，…m; j=1，2，…，n）.,称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记作,列向量(列矩阵)形式为,,13,说明,当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合称为方程组的通解或一般解. 当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则便是不相容的. “解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解)的过程.,“解线性方程组”常用方法为高斯消元法. 消元过程中需要反复应用线性方程组的初等变换.,14,定义3.1.4 以下三种变换统称为线性方程组的初等变换(以Lj , Lj 表示第 i或第j个方程)：,(1) 交换两个方程，记作,以上初等变换的逆变换分别为（1）交换两个方程，记作；,,(2) 第i个方程乘以非零常数k，记作,(3) 以非零常数k乘以方程加到方程，记作,（2）第i个方程乘以非零常数1/k，记作；,（3）以非零常数k乘以方程加到方程，记作,15,说明,如果线性方程组（Ⅰ）经过一次初等变换化为线性方程组（Ⅱ），则称方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）是同解方程组，也称方程组（Ⅰ）与方程组（Ⅱ）等价. 线性方程组等价，满足自反性，对称性和传递性. 线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组等价.,经过初等变换后,如果方程组中包括这样的方程：,当b0时，方程L没有解，因此方程组没有解; 如果b=0 ，则任一n维向量均满足L，所以运算中可以将方程L从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价.,16,3.三角形方程组和梯形方程组,定义3.1.5,说明,称形如以下的方程组为三角形方程组，,(1)三角形方程组的特点是方程组中方程个数与变量个数相等，且akkxk 为第k个方程的非零首项. (2)三角形方程组的解法:由最后一个方程开始逐步回代求出方程组各个变量的值，从而得出方程组的解; (3)利用克莱姆法则可以判定，其解惟一.,17,定义3.1.6 称以下形式的方程组为梯形线性方程组,说明 (1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n. (2)当r=m=n 时上式即为三角形线性方程组.(3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量. (4)自由变量仅应用于梯形线性方程组.,例5 确定线性方程组的自由变量.,方程组中首项非零元是,自由变量是,18,定理3.1.3 梯形线性方程组(*)当r=n时有惟一解，当r