2024年高考数学复习：正态分布与线性回归 专项训练.pdf

正态分布专题训练(-)学问点回顾:(1)正态分布概念：若连续型随机变量4 的概率密度函数为J 27rb2a2,X G (-00,+00)其中cr,为常数，且0,则称4 听从正态分布，简记为自N(Q2)/(%)的图象称为正态曲线2)、正态分布的期望与方差：若 J N(e),则 心=,耳=曲 线 关 于 直 线x=口对称.曲 线 在 x=口时位于最高点.当XCP时，曲线(1)(2)(3)上升；当 XP时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延长时，以X轴为渐进线，向它无限靠近.当口肯定时，曲线的形态由确 定.越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高“，表示总体的分布越集中.(4)、在标准正态分布表中相应于X的值(5)是指总体取值小于%的概率即(5)=尸(%)若自 则 N(0,l),有尸(&r.0 5,上面y与x是线性相关的，当讨Wr吨 或r皿，认为线性关系不显著.探讨若干变量是否线性相关，必需先进行相关性检验，在确认线性相关后，再求回来直线；通过两个变量是否线性相关的估计，事实上就是把非确定性问题转化成确定性问题来探讨；我们探讨的对象是两个变量的线性相关关系，还可以探讨多个变量的相关问题，这在今后的学习中会进一步学到.题型讲解例1已知连续型随机变量C的概率密度函数0(x 0)7(x)=kx+1(0 x 2),且 f(x)2 0,求常数 k 的值，并计算概率 P(1.5W J 2)分析:凡是计算连续型随机变量J的密度函数f(x)中的参数、概 率P(aW J Wb)都须要通过求面积来转化而求得。

若f(x)2 0且在a,b上为线性，那么P(aWjWb)的值等于以b-a为高，f(a)与f(b)为上、下底的直角梯形的面积，即 P(a b)=1/(a)+-a).解：Vl=P(-oof+O O)=JP(-O O0)+P(02)+/5(2+O O)=0+P(0 2)+0=1/(0)+/(2)(2-0)=/(0)+/(2)=2+2P(1.52.5)=P(1.52)+P(22.5)=P(1.52)=16例2设X 且总体密度曲线的函数表达式为：f 2%+1f (x)f=C 4,X R 2折 求 口，2)求 P(|x 11(收)及 P(1 后 x 1+2收)的 值分析：依据表示正态曲线函数的结构特征，比照已知函数求出口和利用一般正态总体N(,cr2)与标准正态总体N (0,1)概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决2 2%+1解：(1)由于=一 一121兀()21 C 2(扬2J 2兀-pl依据一般正态分布的函数表达形式，可知口=1,o-=V2,故X N (1,2)2)P(|x-l|V 2)=P(l-V 2 x l+V2)=F(1+7 2)-F(l-V 2)=屯(=一(一1)=2(1)1=2x0.8413-1=0.6826 0又 P(1-行 x 1 2 0）=l-P（1 2 0）=l-C120 10010 x 0.023120分以上的考生人数为1000X0.023=23点评：通过公式e(乃=(七上)转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可.C T例 4将温度调整器放置在贮存着某种液体的容器内，调整器设定在d,液体的温度f(单位：。

C)是一个随机变量，且&N(d,0.52).(1)若 d=90,求 f 8 9的概率；(2)若要保持液体的温度至少为80 C的概率不低于0.9 9,问 d 至少是多少？(其中若N(0,1),贝 I 2)=P(2)=0.9772,(一2.327)=P(一2.327)=0.01).分析：(1)要求 P(f89)=F(89),:gN(d,0.5)不是标准正态分布，而给出的是2),(-2.3 2 7),故需转化为标准正态分布的数值.(2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,再利用p 2 0.9 9,解 deo _an解：(1)尸(f89)=F(89)=0 ()0.5=0 (-2)=1-0 (2)=1-0.9772=0.0228.(2)由已知 d 满意 0.99WP(f 8 0),即 1一尸(f80)2 1 0.01,：.P(f80)WOOL:.(8 0 一 )WO.O1=0(-2.3 2 7).0.5.吐 1 W-2.327.0.5.,.dW8L1635.故 d 至少为81.1635.点评：(1)若 4 N(0,1),则=由二幺N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数/(无)是偶函数，元 0时，/(x)为减函数.例 5 在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：(1)提出统计假设：某种指标听从正态分布N (，d)；(2)确定一次试验中的取值；(3)作出统计推断：若 a d (-3。

3)，则接受假设，若 ae(一3)，则拒绝假设.某砖瓦厂生产的质的“抗断强度”f 听从正态分布N (30,0.8),质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5 kg/cn?,你认为该厂这天生产的这批砖是否合格?为什么？解：由于在一次试验中4落在区间(一3)内的概率为0.997,故 f 几乎必定落在上述区间内.于是把=30,0.8代入，算出区间(一3)=(27.6,32.4),而 27.5任(27.6,32.4)据此认为这批砖不合格.例 6已知测量误差f N (2,100)(c m),必需进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的肯定值不超过8 cm 的频率大于0.9?解：设”表示次测量中肯定误差不超过8 cm 的次数，贝 U 8(”，p).其中尸=P(|f|0.9,w 应满意尸(2 1)=l-p (=0)=1-(l p)0.9,4 1 吐岫lg(l-0.5671)-11g 0.4329=2.75.因此,例 7据：至少要进行3 次测量，才能使至少有一次误差的肯定值不超过8 cm 的概率大于0.9.已知某地每单位面积菜地年平均运用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求 x 与 y 之间的相关系数，并检验是否线性相关；(2)若线性相关，求蔬菜产量y 与运用氮肥量之间的回来直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量。

分析：(1)运用样本相关系数计算公式来完成；(2)查表得出显著性水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界Los比较，若 r 405则线性相关，否则不线性相关解：(1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i123456789101112131415七707480788592909592108115123130138145%5.1 6.0 6.87.8 9.0 10.2 10.0 12.0 11.5 11.0 11.812.2 12.512.813.0X 4357 444 544 608.4765 938.4 900 1140 1058 1188 1357 1500.61625 1766.4 1885-1515x=-=101,-1 5 1.7y=-15=10.11,1 5 1 5 1 5X X.=161125,=1628.55,工毛%=16076.8z=l i=l i=l故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数16076.8-15x101x10.11 八乙.r=x 0.86437(161 125-1 5X1012)(1628.55-15X10.112)由于n=1 5,故自由度15-2=13。

由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值4.05=0.514,则 r 0 5,从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系1 5 _2王%-15xy(2)设所求的回来直线方程为f =法+则6=鼻-=l607、15.101义1;口工0.0937,串 2 认 2 161125-1 5 x l0 122天 15x(=17-标=10.11-0.0937 x 101 0.6463,.回来直线方程为 y=0.0937%+0.6463=14.701(0点评：求解两个变量的相关系数及它们的回来直线方程的计算量较大，须要细心、谨慎地计算假如会运用n n n n n含统计的科学计算器，能简洁得到这些量，也就无需有制表这一步,i=l i=l i=l i=l i=l干脆算出结果就行了另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理例8假设关于某设备的运用年限x 和所支出的修理费用y(万元)，有如下的统计资料:X23456y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对 x 呈线性相关关系试求:(1)线性回来方程；(2)估计运用年限为10年时，修理费用是多少？分析：本题为了降低难度，告知了 y 与 x 间呈线性相关关系，目的是训练公式的运用。

解：(1)列表如下：于是 3 1 1 2.3-5 x 4 x 5U -c L 乙J 2 2 9 0 5 x 4-i12345X,23456y.2.23.85.56.57.0七、4.411.422.032.542.049162536_ _ 5 5x=4,y=5,Z%；=9 0,=112.3i=l i=li=a=_y-Z?x=5-1.23 x 4=0.0 8线性回来方程为：y=bx+a=1.23%+0.08 o(2)当 x=10 时，y=1.23x 10+0.08=12.38(万元)即估计运用10年时修理费用是12.38万元点评：本题若没有告知我们y 与 x 间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验假如本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回来方程也是没有意义的，而且其估计与预料也是不行信的小结：1.频率分布随着样本容量的增大更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会演化成一条光滑曲线一一反映总体分布的频率密度曲线，基于频率分布与相应的总体分布的关系，且通常我们并不知道一个总体的分布，因此，我们往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计相应的总体分布.2.统计中假设检验的基本思想是：依据小概率事务在一次试验中几乎不行能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出推断：是拒绝假设，还是接受假设.学生练习：1.下面哪有个数不为总体特征数的是(D)A.总 体平均数B.总 体 方 差 C.总体标准差D.总体样本答案：D2.设随机变量自听从二项分布B(6,g),则 P(J=3)=(A)5 3A.B.16 16答案：A3.设随机变量gN(口,A 0 R 05C.一8o),且 P(f WC)=P(f C),则 c 等于c.-n D.n解析：由正态曲线的图象关于直线x=对称可得答案为D.答案：D4.假如随机变量f N (，八),且 Ef=3,则 P(1 f W 1)等于A.20(1)-1 B.0 (4)(2)C.(2)。

4)D.(4)一2)解析：对正态分布，=4=3,4=1,故 P(1 f W1)=13)=2)0(-4)=0 (4)2).答案：B5.某厂生产的零件外直径4 N (8.0,1.52)(m m),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和 7.5 m m,则可认为A.上、下午生产状况均为正常B.上、下午生产状况均为异样C.上午生产状况正常，下午生产状况异样D.上午生产状况异样，下午生产状况正常解析：依据3原则，在 8+3X1.5=8.45(m m)与 83X 1.5=7.55(m m)之外时为异样.答案：C6.随机变量f 听从正态分。