2024年高考数学一轮复习：直线和圆的方程（新高考专用)(解析版).pdf

考点1 9直线和圆的方程(核心考点讲与练)点一、直线与方程1.直线的倾斜角 定 义：X 轴画与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与X 轴平行或重合的直线的倾斜角为霎度角.(2)规 定：当 直 线/与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为；(3)范 围：直线的倾斜角a 的取值范围是 0,“).2 .直线的斜率(1)定 义：直线y=x+6 中的系数“叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在.y2-y(2)计算公式：若 由 A U ,刃,以至,确定的直线不垂直于x轴，则=鲤三垃.JI若直线的倾斜角为0(f W 万)，则 若 t a n 9.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率kx+b与 X 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y 一 再 二 就两点式过两点p-x-.y-yi-A2_-与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距4+三a.-b-不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式XAx+By+C-0（一 +-W 0）所有直线二、两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线h,12,其斜率分别为左，左，则有k=k;特别地，当直线2 1,心的斜率都不存在时,，与 4平行.(2)两条直线垂直如果两条直线Z 2 斜率都存在，设为A ,左，则I d l v k 3-1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2 .两直线相交A x+By+G=0,直 线 7i 4 x+B1y+G=0 和 44 x+&y+G =0的公共点的坐标与方程组A x+G=0的解一一对应.相交Q 方程组有唯二解，交点坐标就是方程组的解；平行Q 方程组无解；重合Q 方程组有无数个解.3 .距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点A(X1,%),2(X2 ,间的距离公式为|户1 知=、/(X2 -泡)2 +(理-再)：特别地，原 点 0(0,0)与任一点P(x,。

的距离，(2)点到直线的距离公式_ 14 照 +Byo+平面上任意一点&(照，j b)到直线1：A x+By+C=0的距离d-/.y/7+两条平行线间的距离公式_、_|G-C|一般地，两条平行直线h A x+By+G=0,h Ax+B y+G=0 间的距禺d-,、/1 +4三、圆的方程1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系定义在平面内，到定点的距离等于转的点的集合叫做圆方程标准(x-a)2+(y-6)2=r(r 0)圆心以a ,6)半径为r一般x+y+Dx+Ey+F=0(4 +彦-4 F 0)充要条件：万+3 -4 户 0圆心坐标：-半 径r-同 疗+-4 尸平面上的一点(刘，与 圆 C：(x-a)2+(广 6)、步之间存在着下列关系：(1)MC 在圆 外,即(x o -a)2 +(%-6)7=在圆外；(2)|MC=在圆上，即(荀-a)+(%-6)2 =产=在圆上；|MC r=在圆内，即(司-a)2 +(%-6)2 /=在圆内.四、直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设 圆 C：(x -a)2 +(y-6)2 =/,直 线/：而+破+c=0,圆心以a ,6)到直线1的距离为d,(x-a)+(y-b)1-r,由 Ax+By+C=0消去y(或x)，得到关于x(或 y)的一元二次方程，其 判 别 式 为/.方法位置关系几何法代数法相交d0相切d-rA=Q相离drzl r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征d R+rd-R+rR-rd R+rd-R-rd0,Mx)=x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数4 的取值范围是()A .B.(-10,-2)C.(2,+o o)D.(-o o,-1 0)u Q,+o o【答案】A【分析】作出函数了的图象，作出直线 =履+1,由图象知只要直线=丘+1与 y=/(x)的图象在y 轴左右两侧各有两个交点，则(幻=乃-8(幻的图象就经过四个象限(x 0 时，(X)的函数值有正有负)，因 此 求 得 直 线 的 斜 率，再求得直线与y=2 1-6X+3 相切的切线斜率(注意取舍)即可得结论.【详解】作出函数所)的图象，如 图,作出直线y=履+1,它过定点P(o，D,由图可得，只要直线y=履+1与 y=/(%)的图象在 轴左右两侧各有两个交点，则3 =/(元)-g(x)的图象就经过四个象限(x 0 时，力(X)的函数值有正有负)，1-0 1x 0 时，/(%)=2 M-6%+3 ,f y=kx+1 c由 1；=2/6%+3 得 2%(6 +切+2 =0,=(6+左)2-16=0,解得左=2 或左=10,由图象知，切线尸N的斜率为 2 ,所以-2 左 0 ,b0）的左、右顶点分别为a bA,4,左、右焦点分别为可，工.以线段4 4 为直径的圆与双曲线c 的一条渐近线交于点 M,且点用在第一象限,与另一条渐近线平行.若由M|=J 区,则的面积是（）A 3指 B 7百 c 3百 口 7 g F,F T 【答案】C【分析】求得以线段A 4 为直径的圆的方程为Y+V=/，与渐近线y=7联立求出点Ma的坐标，根 据 与 另 一 条 渐 近 线 平 行 可 求 出。

力，的关系，然后根据闺加|=万，即可求出a,b,c的 值，从而可得出答案.【详解】解：由题意4（一E（-c,O），l（c,O）,则以线段A4为直径的圆的方程为V +y =2联立x2+y2=a2by=xax=,解得 caty=l C或 a1x=-caby=c又因点M 在第一象限，所以h因 为 与 直 线 y=-x平行,aab所以滔J-ababb即a-ca所以 c=2 a ,贝肥2=0 2-/=3 4 ,所以标=3 ,贝 /=12,=9,所以“当|,4（o），B（26 o）,所以s MAF也=.故 选：C.6.（2022.湖南衡阳.二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知月、巴分别是双曲线2c ：尤2 _ 5=1的左、右焦点，点P为C在第一象限上的点，点/在 耳 P 延长线上，点 Q的坐标为，且 PQ为/月尸区的平分线，则下列正确的是（）A.四一 2B.PFl+PF2=2 C.点 P 到 x 轴的距离为6D.NF2PM的角平分线所在直线的倾斜角为150【答案】AD2【分析】证明出双曲线U 尤2一 千=1在 其 上 一 点 几）的切线的方程 为%X-写=1,将点。

的坐标代入切线方程，求出点尸的坐标，可判断ABC选项的正误，计算出PQ的斜率，可计算出NF2PM的角平分线所在直线的斜率，可判断D 选项的正误.2【详解】先证明结论双曲线C：f -5=1 在其上一点户（X儿）的切线的方程为9-罟=1,AQA 由已知宕-萼=1,联立 2 可得犬-2 尤尤+*=0,即（尤 _/）2=0,解得户,2x2-=l22所 以，双曲线C:尤 2-5=1 在其上一点尸（五,九）的切线的方程为工/-与=1.本题中，设点P（x几）,则直线P的方程为龙川-券=1,将 点 代 入 切 线 方 程 可 得 与=石，所以尸（6,2），即点尸到X 轴的距离为2 ,C 错;在双曲线C 中，a=l,b=2,则 c=6 ,则 川-6 0）、耳 母，所 以，阀仁他石=4 ,|P闾=府+2 2=2,所 以,高=2 ,A对；居=（-2,-2）,电=（0,-2）,所 以,两 +心=1 2 后 T）,则|尸 耳 +PF2 =h百 j+（_4 丫=27 7，:B 错；因为ZF2P M的角平分线交X 轴于点N ,则ZQ PF2+ZNPF2=/大尸片+ZF2P M）=90,kpc=-尸=y/3 1 x/3所 以，P NC。

PQ A 6，则-厂=-+，7 3-T 3故/鸟P M 的角平分线所在直线的倾斜角为15 0,D 对.故 选：A D.三、填空题7.（2 02 1年 1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2 ,则该正方形的 两 条 邻 边 所 在 直 线 的 斜 率 分 别 为.【答案】g和 3.【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为得到左=tan，得出对角线所在直线的斜率为tan(&+)，结合两角和的正切公式，求得tana=2，再结合两直线的位4 3置关系，即可求解.【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为其斜率k=ta n i,则其中一条对角线所在直线的倾斜角为a+f ,其斜率为tan(a+),4 4冗tan or+tan tan a +1根据题意值tan(a+f)=2,可得-a n =?,解得ta n a=z ,4 1-t a n a t a/34即正方形其中一边所在直线的斜率 为:，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为-3.故答案为：(和-3.8.(2022广东潮州二模)设 函 数 司=云 亮,点在图象上，点4为坐标原点，设向量，=(1，)，若向量4)4 +4 4+A-A，且。

是明与，的夹角，贝h a n的最大值是_ _ _ _ _ _.【答案】216【分析】先利用平面向量的线性运算化简7,再利用直线的斜率公式求出tan0”的表达式，再利用基本不等式求其最值.【详解】由向量的线性运算，得%=4 4+4 4+A-i A=A A，因为点4,2 在函数工）=耳的图象上,4 为坐标原点，向量，=（1，0）,是 7 与 i 的夹角，所以，皿2L2L-04+64 _ 2n-0 4+64二 I w 12“+的 一 2扃 16（当且仅当2=5r，即”=3时取等号）,即tan的最大值是.16故答案为：10四、解答题2 29.（2022.北京丰台.二模）已知椭圆C：齐=l（a 6 0）经过点尸（2,1）,P 到椭圆C 的两个焦点的距离和为4拒.求椭圆C 的方程；设4,0）,R 为尸的中点，作尸的平行线/与椭圆C交于不同的两点A,3,直线4与椭圆C交于另一点M ,直线BQ与椭圆C交于另一点N,求 证：M,N,R三点共线.2 2【答案】+9=1 证明见解析o 2【分析】（1）根据椭圆定义，可求得值，将尸点坐标代入，即可求得，即可得答案.（2）由题意可得R点坐标和直线P Q的斜率，即可设直线I的方程为 y=x+m ,4 为%）向%2，%），河（%分），阳天,以），可得直线4。

的方程为广11（工-4），与椭圆联立，即可求得以，/表达式，同理可得以，当表达式，即可求导直线MN的斜率，再求得直线 的 斜 率，分析即可得证.（1）根据椭圆的定义可得24=4&,解得a=2 0,又过点尸（/2,1）,所以24+京1=1，解得八2 ,2 2所以椭圆C的方程为+3=1.o 2（2）因为尸（2,1）,4,0）,所以中k1-0 12-4 2设直线/的 方 程 为 产 一 根，4（王，弘）,3（工2，%），（乙,先）,阳尤”“），所以%颇二七一4，八k8 Q为%4%所以直线4的方程为=（X-4）,直线8的方程为y=再一 4%工2 -4(I),联立直线A与椭圆,2（I）2,%J-1-,消去x可得+4 12 +8(%-4)y+8=0,=1y 二%一4 国-41必2弘I 82所以 +%=_8(演 4)2L _、22 2,又+3=1代入,玉一4o 2+4%整理可得心=8(占 一4)2 4-8再一切=，代入直线AQ,可得4 二8 3%!同理可得以=8 3 X23-x23 x2%X3 玉3 玉所以22 213(%-%)+占-尤2%3 ,=-=-1-xJ-1x2+mj-x2x2 一 玉3 m23 -x?3 玉一 g%+机23%3 -再.V1 _123 玉 2又=X1 +小3 7-m=kMN3%所以N,R三点共线考 向 二 两直线的位置关系1.（2 02 1黑龙江省实验中高三检测）已知直线4:x +m y+7=0 和：-2）x +3 y+2 m =0 互相平行，则实数冽=（）A.-3 B.-1 C.一。