小学奥数思维数学讲义：概率-带详解.doc

概率教学目标 “统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．　　1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．　　2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．知识要点一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件，它的概率定义为：，表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，表示事件包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的和需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件和为对立事件（互斥事件），那么或中之一发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之和，为1，即：．三、相互独立事件事件是否发生对事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件和为独立事件，那么和都发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积，即：．例题精讲模块一、概率的意义【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，决赛【解析】 降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢． 赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）．【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】 连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。

约翰扔的话，两种情况记1分，两种情况记0分；汤姆扔的话三种情况记1分，一种情况记0分所以汤姆赢得的可能性大答案】汤姆【例 3】 在某个池塘中随机捕捞条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞尾，发现其中有条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】解答【解析】 尾鱼中有条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是，池塘中鱼的数量约为尾．【答案】【例 4】 一个小方木块的六个面上分别写有数字、、、、、，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得分．每人扔次，______得分高的可能性比较大． 【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】填空【解析】 因为、、、、、中奇数有个，偶数只有个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【答案】小亮得分高的可能性较大【例 5】 一个骰子六个面上的数字分别为，，，，，，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿. 【考点】概率的意义 【难度】4星 【题型】填空【解析】 掷的总点数在至之间时，再掷一次，总点数才有可能超过（至多是）．当总点数是时，再掷一次，总点数是的可能性比总点数超过的可能性大．当总点数在至之间时，再掷一次，总点数是的可能性不比总点数是，，，的可能性小．例如，总点数是时，再掷一次，出现的可能性相同，所以总点数是的可能性相同，即总数是的可能性不比总数点数分别是，，的可能性小，综上所述，总点数是的可能性最大．【答案】总点数是的可能性最大．【例 6】 从小红家门口的车站到学校，有路、路两种公共汽车可乘，它们都是每隔分中开来一辆．小红到车站后，只要看见路或路，马上就上车，据有人观察发现：总有路车过去以后分钟就来路车，而路车过去以后分钟才来路车．小红乘坐______路车的可能性较大． 【考点】概率的意义 【难度】4星 【题型】填空【解析】 首先某一时刻开来路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：分钟12345678910111213141516171819车号1999111111199911111显然由上表可知每分钟乘坐路车的几率均为，乘坐路车的几率均为，因此小红乘坐 路车的可能性较大．【答案】 路车的可能性较大模块二、计数求概率【例 7】 如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______． 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空【解析】 每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为、、、、．【答案】左至右落到底部的概率依次为、、、、．【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由、、、、五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______． 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空【解析】 警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是、、、、中的任何一个，有种可能，第二位数字有种可能，……，第五位数字有种可能，所以一共有种可能，则输入正确车牌号的可能性是．【答案】【例 9】 分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少? 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有．将点数为的情况全部枚举出来有：点数之积为的情况为：两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是；点数之积为6的概率为．【答案】（1），（2）【例 10】 甲、乙两个学生各从这个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过的概率，⑵两个数字的差不超过的概率． 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有种，两个数差为有种，两个数的差为的情况有种，所以两个数的差不超过的概率有．⑵两个数的差为的情况有种．两个数的差为的情况有种．两个数的差为的情况有种．所以两个数字的差超过的概率有.两个数字的差不超过的概率有.【答案】（1），（2）【例 11】 工厂质量检测部门对某一批次的件产品进行抽样检测，如果这件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？ 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答【解析】 从件产品中选择件一共有种情况.所以这两件产品恰好都是次品的概率为．两件产品中有一件次品的情况有种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为.两件产品中都不是次品的概率有种情况，所以两件产品都不是次品的概率为.【答案】（1），（2），（3）【例 12】 一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几? 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答【解析】 从25名女生中任意抽出两个人有种不同的方法．　　　　从全体学生中任意抽出两个人有种不同的方法．计算概率：．【答案】【例 13】 从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？ 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答【解析】 法一：从名学生中选人的不同组合有种．其中，人中包括甲的不同组合相当于在名学生中选人所以一共有种．所以甲被选择上的概率为．　　　　法二：显然这个人入选的概率是均等的．　　　　即每个人作为一号选手入选的概率为，作为二号入选的概率为，作为三号入选的概率为，　　　　作为四号入选的概率为，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是　　　　互斥事件，所以他被入选的概率为．【答案】【例 14】 一块电子手表，显示时与分，使用小时计时制，例如中午点和半夜点都显示为．如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______． 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第8题【解析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有种．其中冒号之前不出现的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，冒号之后不出现的情况有种， 所以不出现的情况有种． 所以至少看到一个数字“1”的情况有种， 所以至少看到一个数字“1”的概率为种．【答案】【例 15】 从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出：⑴它们能构成多少个三角形？⑵这些三角形中有多少个直角三角形？⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？ 【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答【解析】 从个顶点中任取个顶点都能构成三角形，所以应该有个．如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有个不是直角三角形．所以直角三角形共有个．构成直角三角形的可能性有．【答案】（1），（2），（3）【例 16】 一个标准的五角星（如图）由个点连接而成，从这个点随机选取个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？ 【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答【解析】 个点中任意取个的情况为种，其中涉及到条直线，每条直线上各有个点，其中任意点都共线，所以取这3点不能够成三角形，这样的概率是,所以点构成三角形的概率为．个点中取个点的情形为种，个点中平行四边形有个，所以构成平行四边形的概率为．【答案】（1），（2），（3）【例 17】 如图个点分布成边长为厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为厘米），在这个点中任取个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为平方厘米的概率为多少？构成面积为平方厘米的三角形的概率为多少？【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答【解析】 从个点中任取个点一共有种情况．三个点共线一共有种情况．　　　　所以三个点能够成三角形的概率为．　　　　个点中能构成面积。