大学物理习题解答10-17章.pdf

大学物理学习题解答 10-1 习题 10 10-1 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止 时两线夹角为2?，如题10-1图所示设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小 球所带的电量 解： 如题 10-1 图示 2 2 0 cos 1 sin 4(2 sin ) e Tmg q TF l 解得 0 2 sin4tanqlmg 10-2 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和 -q 则这两板之间有相互作用力f， 有人说f= 2 2 0 4 q d ， 又有人说， 因为f=qE， 0 q E S ， 所以f= 2 0 q S 试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少? 解： 题中的两种说法均不对第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种 说法把合场强 0 q E S 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的正确解答应 为一个板产生的电场为： 1 0 2 q E S ，另一板受它的作用力 2 1 0 2 q FqE S ，这是两板间 相互作用的电场力 10-3 在 真 空 中 一 长 为10cml 的 细 杆 上 均 匀 分 布 着 电 荷 ， 其 电 荷 线 密 度 5 1.0 10 C/m ，在杆的延长线上，距杆的一端距离10cmd 的一点上，有一点电荷 5 0 2.0 10 Cq 试求该点电荷所受的电场力。

解：选杆的左端为坐标原点，x 轴沿杆的方向 在 x 处取一电荷元ddqx，它在 点电荷所在处产生场强为： 2 0 d d 4 x E dx 整个杆上电荷在该点的场强为： 2 0 00 d 44 l xl E d dl dx 点电荷 0 q所受的电场力大小为： 0 0 0.90N 4 ql F d dl 方向：沿 x 轴负向 题 10-1 图 第 10 章 静电场 10-2 10-4 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷Q，沿 其下半部分均匀分布有电荷Q，如图所示试求圆心 O 处的电场强度 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微元电荷： 2 ddd Q ql ，它在 O 处产生场强 222 00 d dd 42 qQ E RR 按 角变化，将 dE 分解成, x y轴两个分量： 22 0 ddsinsind 2 x Q EE R 22 0 ddcoscosd 2 y Q EE R 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷，得 /2 22 00/2 sindsind0 2 x Q E R /2 2222 000/2 cosdcosd 2 y E RR 22 0 xy Q EE R Eijj 10-5 半径为 1 R和 2 R( 2 R 1 R)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和 ，试求：(1)r 1 R；(2) 1 Rr 2 R；(3) r 2 R处各点的场强 解： 取同轴圆柱形高斯面，侧面积2Srl，由高斯定理： 0 d S q ES ，则 d2 S Erl ES 0 q (1) 1 rR， 0,0qE (2) 12 RrR ，ql ，所以， 0 2 E r ，方向：沿径向向外。

(3) 2 rR ，0q ，所以，0E 10-6 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1 和 2 ，试求空间各 处场强 解： 如图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1 与 2 ， d l q0 q0 O x dx d+ x l d x 题 10-3 图 题 10-4 图 dE 大学物理学习题解答 10-3 两面间， 12 0 1 () 2 En 1 面外， 12 0 1 () 2 En 2 面外， 12 0 1 () 2 En 其中：n为垂直于两平面由 1 面指为 2 面方向的单位矢量 10-7 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为，若在球内挖去一块半径为r R的小球体，如图所示试求：两球心O与 O 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀 的 解： 将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见图(a) (1) 球在O点产生电场 1 0 O E，球在O点产生电场 3 2 3 0 4 3 4d O r OO E ， 故O 点电场 3 12 3 0 4 3 4d OO r OO EEE 3 3 0 3 d r OO (2)球在 O 产生电场 1O E 3 3 00 4 d 3 4d3 OOOO ，球在 O 产生电场 2 0 O E，故 O 点的电场 12OO EEE 0 3 OO (3)设空腔任一点P相对 O 的位矢为 r ，相对O点位矢为r ，如图(b)，则球在 P 点产生的电场为 PO E 0 3 r ；球在 P 点产生电场 PO E 0 3 r 。

所以 P 点的场强 000 () 333 PPOPO OO d EEErr 可见，空腔内是均匀电场 10-8 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的 一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各 面的电通量是多少?*(3)如题10-8(3)图所示， 在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面q在 该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量(arctan R x ) 题 10-7 图 题 10-6 图 第 10 章 静电场 10-4 解： (1)由高斯定理： 00 d S q q ES 当q在立方体中心时，立方体六个面，每个面上电通量相等所以各面电通量 0 6 e q (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心， 则边长2a的正方形上电通量： 0 6 e q 对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则 0 24 e q ；如果它包含q所在 顶点则0 e (3)因为通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为 22 Rx的球冠面的电通 量，而球冠面积* 22 22 2()1 x SRx Rx 所以，电通量： 22 0 4() qS Rx 0 2 q 22 1 x Rx *关于球冠面积的计算：见题 10-8 解图(c)，半径为r的球冠面积 0 2 sindSrr 2 0 2sindr 2 2(1 cos)r 10-9 边长为 b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy、yOz和xOz平面盒子的一 角在坐标原点处 在此区域有一静电场， 场强为200300Eij .试求穿过各面的电通量。

解：由题意知200N/C,300N/C,0 xyz EEE 平行于xOy平面的两个面的电场强度通量： 1 0 z E S E S 平行于yOz平面的两个面的电场强度通量 22 2 200N m /C x E Sb E S， 其中“” 、 “”分别对应于右侧和左侧平面的电场强度通量 平行于xOz平面的两个面的电场强度通量 22 2 300N m /C y E Sb E S，其 中“” 、 “”分别对应于上和下平面的电场强度通量 10-10 在点电荷q的电场中， 选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点， 题 10-8 解图 题 10-8(3)图 大学物理学习题解答 10-5 求与点电荷q距离为r的 P 点的电势 解： 2 00 11 dd() 44 RR rr Qq Ur rrR Er 10-11 如图所示， 边长为 a 的等边三角形的三个顶点上， 分别放置着三个正的点电荷q、 2q、3q若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心 O 处，外力所做的功多大？ 解：任意 1 个电荷距三角形中心 O 处的距离都为： 2 cos303 aa r ，三个电荷q、 2q、3q在三角形的中心 O 处产生的总电势为 0 0 (23 )3 3 2 4 3 O U a a 设无穷远处电势为零，将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心 O 处，外力所 做的功 0 3 3 2 OO qQ AQ UUQU a 10-12 如图所示试验电荷q， 在点电荷 Q 产生的电场中，沿半径为R的整个圆弧 的 3/4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点的过程中电场力做功多大？从 d 点移到无穷远处的过程中， 电场力做功为多少？ 解：因为在点电荷 Q 产生的电场中， ad UU。

故试验电荷q在点电荷 Q 产生的电 场中， 沿半径为R的整个圆弧的 3/4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点的过程中电场力做功 ad 0A； 从 d 点移到无穷远处的过程中，电场力做功为 dd 0 4 qQ Aq UUqU R 或另解： 2 00 dd 44 RR qQqQ Aqr rR Er 10-13 如题图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷， 两直导线的长度和半 圆环的半径都等于R试求环中心O点处的场强和电势 解： (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消， 半圆环上取ddlR，其电量ddqR，在O点产生dE如图， 2 2 02 d dsin0 4 xx R EE R 2 2 02 d dcos 4 yy R EE R 0 2R r P q R P 题 10-10 图 q 3q 2q O a a a 题 10-11 图 +Q R q a d 题 10-12 图 第 10 章 静电场 10-6 所以，由于对称性，O点场强沿y轴负方向，其大小为 0 2 E R (2) 以0U，AB电荷在O点产生电势为 2 1 00 d ln2 44 R R r U r 同理CD产生的电势： 21 0 ln2 4 UU 半圆环产生的电势： 3 00 44 R U R O 点的电势为 123 00 ln2 24 O UUUU 10-14 长为2l的细杆上均匀分着电荷，其带电量为q。

求在杆的延长线上距杆一端 距离为a 处的电势 解 以场点 P 为原点，沿细杆方向为x轴方向，建坐标系在杆上任取电荷元 ddd 2 q qxx l ，取无穷远为电势为零，则电荷元在 P 处的点电势： 0 d d 4 q U x ，整 个杆上电荷在 P 点处的电势 2 00 d2 ln 48 al a al U xla 题 10-14 图 P O a x dx 2l x 题 10-13 图 大学物理学习题解答 11-1 习题 11 11-1 图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条 件下， 内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大 小 解：由高斯定理可得球形电容器空间内(内、外球壳之间)的场强为： 2 0 4 Q E r ，而 电势差： 2 00 dd 44 bb aa ba Ur rab Er 可得球形电容器空间内任一点的场强为： 2 abU E ba r 考察内球表面附近的场强，令ra，有： () a bU E ba a ，将a 看成自变。