建模优秀论文——跳楼问题.doc

跳楼问题摘要从高出落下，落地时缓冲的冲击力如果超出人体所能承受范围就会导致落下 者受伤本文由数学角度进行一系列合理假设猜想，推导出安全坠落高度，即在 低空状态下普通人由高处落下，当坠落高度H<2h时，不会对人体造成伤害改进后的模型可以对高空降落的物体的安全防护，易碎物品的包装等有一定 的指导意义关键词高空坠落最大冲击力加速度安全坠落高度数学模型一 问题重述人的腿是虚弱的，如果他从那扇窗户跳下來，就口J能受伤请通过建立数学模型 來说明律师辩护的依据即建立数学模型探讨从高空坠落是否会受伤二 问题分析从高出落下，落地时缓冲的冲击力如果超出人体所能承受范围就会导致落下者受 伤因而，问题转化为从高处落下的吋候落地吋产生的冲击力与人体所能承受的 力的大小的比较问题也就是说，该人从高空落卜直到触地时的速度在很短的距离内骤然减速为零的短 暂时间内所承受的力要不大于人体能够承受的最大的力，否则就会受伤三 模型假设1假设这个人是-般人，身体状况良好，未经过任何专业训练；2人为质地均匀的圆柱体，重心在身高一半处；3该人从与地而接触起到静止过程小受力均匀；4该人从高处落下为落体运动； 5地面时水泥地，落地姿势为由直立蹲下重心降低一半，没有突发情况;6受伤的标准为身体部位承受的载荷大于该部分最大承受载荷;7空气密度均匀。

四 符号说明符号含义H站立平台高度h人体重心高度g下落加速度v(t时刻速度F该人受到的冲击力m人的质量h'蹲下后重心高度f空气阻力S横截面积X重心下降高度a加速度五 模型的建立和求解5.1、落地速度的求解从高空坠落时遵循自市落体运动，那么1 7H+h=—g*r2 +h;2v=gtH=v*t/2 即有v2H+h二一+h；2g从而落地时具有的能量E= [ mv dv = —m*v2 (2)k 2根据(1)、(2),该人落地吋具有的能量E=mgH (3)5.2、落地冲击力的求解前而已知落地时具冇的能量E=mgH要在落地后降低重心的过程中全部释放出来，即有W=E+mgX也就是W=mg(H+X)这部分能量完全由落地时与地面接触部分做工消耗，即:F*X=W其中X=h-hf于是，用来缓冲速度的力F二mg(H +X) X也即匸 _mg(H +h・h') h-h'(4)(5)(6)从而，接触部分承受的力5.3、人体承受的载荷求解由［1］知，普通人能承受的最大过载约为5g也即是说，落下时人体承受的最大加速度为6gF7m<6g (9)综合(7)、(8)、(9)可求得关于人跳楼后可以安全落地的最高高度H<2h (10)该结果在高度较低时，比较贴合实际，当高度增加时由于只考虑自由落体运动情 况，比实际数值要小，因而只能用来进行粗略估算，不够精确。

5. 4模型的改进以上模型并未考虑到空气阻力，冇无降落伞等装备(这些装备与人在同一平面),再此特作出以下改进：假设空气阻力与下降速度平方成正比，与下落而积成正比则空气阻力f =kvKS(11)此过程中空气阻力做功为(12)则根据动能定理W=AEk所以落地式的动能：E=mgH-W(13)此吋dv kS『(14)at m鉴于该方程太过复杂木人无法求解，但是模型中g、k、m、S均为已知量得出方 程仅冇t、x两个未知数，但x是关于v的分段函数，所以模型一经求解即可以 给出儿乎所有情况的高空坠落的安全高度，鉴于此，希望评委给予考虑六 模型的推广木模型只考虑已较为标准的直立姿势落卜，而未考虑一些特殊情况，如：头先落 地、背部着地，落地时打滚等技术动作； 改进的模型可推广应用于低空抛落弹性物体，如：易碎产品的包装、空降部队的 重型装备的投放等有一定的参考价值参考文献[1] 百度文库 《人体的12个极限》 2012、08、31[2] 百度文库《空气阻力系数》 1 b0717fd5dcl2a.html 2012、8、31。