小学奥数：7-3-2 加乘原理之数字问题（一）.学生版.pdf

7-3-2.加乘原理之数字问题 （一）7-3-2.加乘原理之数字问题 （一） 教学教学目目标标 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分 步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合 知识要点知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中 的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加 法原理来解决 还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方 法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： 加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的 不同方法数等于各类方法数之和 乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘 积 在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理， 综合分析，正确作出分类和分步 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问 题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立” 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响 的独立步骤 来完成，这几步是完成这件任务缺一不 可的 ，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关” 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 由数字】 由数字 1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？可以组成多少个没有重复数字的数？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】因为有 1，2，3 共 3 个数字，因此组成的数有 3 类：组成一位数；组成二位数；组成三位数它们 的和就是问题所求 组成一位数：有 3 个； 组成二位数：由于数字可以重复使用，组成二位数分两步完成；第一步排十位数，有 3 种方法； 第二步排个位数也有 3 种方法，因此由乘法原理，有326个； 组成三位数：与组成二位数道理相同，有326个三位数； 所以，根据加法原理，一共可组成36615个数 【答案】15 【例【例 2】 用数字用数字 1，2，3 可以组成可以组成 6 个没有重复数字的三位数，这个没有重复数字的三位数，这 6 个数的和是个数的和是。

【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】（1+2+3)2111=1332. 【答案】1332 【巩固】【巩固】 由数字由数字 0，3，6 组成的所有三位数的和是组成的所有三位数的和是_ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题 【解析】由数字0，3，6组成的所有三位数有306，360，603，630，它们的和为： 3063606036301899 【答案】1899 【例【例 3】 由数字】 由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？可以组成多少个无重复数字的自然数？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答 【解析】满足条件的数可以分为4类：一位、二位、三位、四位数 第一类，组成0和一位数，有4个（0不是一位数，最小的一位数是1） ； 第二类，组成二位数，有3 39个； 第三类，组成三位数，有3 3218 个; 第四类，组成四位数，有3 32 118 个 由加法原理，一共可以组成49181849个数 【答案】49 【例【例 4】 用数字】 用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于可以组成多少个小于1000的自然数？的自然数？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】小于1000的自然数有三类第一类是0和一位数，有5个；第二类是两位数，有4520个；第三 类是三位数，有45 5100 个，共有520100125个 【答案】125 【例【例 5】 用数码】 用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？的没有重复数字的自然数？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】分为三类，一位数时，0和一位数共有5个；二位数时，为4416个，三位数时，为：44348 个，由加法原理，一共可以组成5164869个小于1000的没有重复数字的自然数 【答案】69 【例【例 6】 用】 用09这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】无重复数字的四位数的千位、 百位、 十位、 个位的限制条件： 千位上不能排0， 或说千位上只能排1 9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.（方法一）分两步完 成： 第一步：从19这九个数中任选一个占据千位，有9种方法； 第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8 种，个位有7种方法； 由乘法原理，共有满足条件的四位数9987=4536个 （方法二）组成的四位数分为两类： 第一类：不含0的四位数有9876=3024个； 第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法， （让0占位只能在百、十、 个位上， 所以有3种） 第二步让其余9个数占位有987种占法.所以含0的四位数有3987=1512 个由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个 【答案】4536 【巩固】 用【巩固】 用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】分为两类：个位数字为0的有326个，个位数字为2的有 224个，由加法原理，一共有： 6410个没有重复数字的四位偶数 【答案】10 【例【例 7】 在】 在2000到到2999这这1000个自然数中， 有多少个千位、 百位、 十位、 个位数字中恰有两个相同的数？个自然数中， 有多少个千位、 百位、 十位、 个位数字中恰有两个相同的数？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】若相同的数是2，则另一个2可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9 个和8个数可选，有398=216（个） ；若相同的数是1，有3824（个） ；同理，相同的数是0， 3，4，5，6，7，8，9时，各有24个，所以，符合题意的数共有216924=432（个） 【答案】432 【例【例 8】 在】 在1000至至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个这些自然数中个位数大于百位数的有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】(方法一)解决计数问题常用分类讨论的方法设在1000至1999这些自然数中满足条件的数为1 abc (其中 ca)；(1)当0a时，c可取19中的任一个数字，b可取09中的任一个数字，于是一 共有9 1090个(2)当1a 时，c可取29中的任一个数字，b仍可取09中的任一个数字， 于是一共有8 1080个(3)类似地，当a依次取2，3，4，5，6，7，8时分别有70，60，50，40， 30，20，10个符合条件的自然数所以，符合条件的自然数有9080702010450个 (方法二)1000至1999这1000个自然数中，每10个中有一个个位数等于百位数，共有100个；剩余 的数中，根据对称性，个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多，所以总数为 (1000100)2450个. 【答案】450 【例【例 9】 某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非】 某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是数码组成，且四个数码之和是9为确保打开保 险柜至少要试多少次？ 为确保打开保 险柜至少要试多少次？ 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3， 3；2，2，2，3六种 第一种中，只要考虑6的位置即可，6可以随意选择四个位置，其余位置方1，共有4种选择 第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，有3种选择，剩下的位置放1，共有43=12 种选择，同理，第三、第四、第五种都有12种选择，最后一种与第一种相似，3的位置有四种选择， 其余位置放2，共有4种选择.由加法原理，一共可以组成4+12+12+12+12+4=56个不同的四位数， 即为确保打开保险柜至少要试56次 【答案】56 【例【例 10】将将 1 到到 35 这这 35 个自然数连续地写在一起，够成了一个大数：个自然数连续地写在一起，够成了一个大数：1234567891011333435，则这个 大数的位数是 ，则这个 大数的位数是。

【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】这个数的位数与数码的总共个数有关系，从1到9都是一位数，则共有9个数码，从10到35全市 两位数，则共有26252（个）数码，那么位数就共有95261（位） 【答案】61 【例【例 11】如图，希望杯数学能力培训教程（四年级）一书有如图，希望杯数学能力培训教程（四年级）一书有 160 页，在它的页码中，数字页，在它的页码中，数字“2”共出现 了 共出现 了次 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】十位上是2的有20个（含有22和122） ，个位上是2的有14个（除了22和122） ，所以共有34个 数 【答案】34个 【例【例 12】按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是 055 号，但选择两位 数的号码时，每位数字均不能超过 号，但选择两位 数的号码时，每位数字均不能超过 5. 那么，可供每支球队选择的号码共（）个那么，可供每支球队选择的号码共（）个 . （A） 34(B)35(C)40(D)56 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第3题 【解析】根据题意， 可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类， 其中一位数可以为09， 有10种选择； 两位数的十位可以为15，个位可以为05，根据乘法原理，两位数号码有56=30种选择。

所以可 供选择的号码共有10+30=40种 【答案】C 种 【例【例 13】从】从1到到100的所有自然数中，不含有数字的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个的自然数有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数 一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9； 两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况个 位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数， 再取个位数，应用乘法原理，这时共有8 972个数不含4 三位数只有100 所以一共有88 9181 个不含4的自然数 【答案】81 【巩固】 从【巩固】 从1到到500的所有自然数中，不含有数字的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个的自然数有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答 【解析】从1到50。