2022年高中积分详解.pdf

积分的引入：(1)思考 f （x） 0 的情况 .二、定积分的计算（牛顿-莱布尼兹公式）（1）牛顿 - 莱布尼兹公式： 一般地， 如果( )f x是在 , a b上有定义的连续函数，( )fx是在 , a b上可微，并且( )( )Fxf x，则( )( )( )baf x dxF bF a，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 ， 为 了 方 便 ， 常 常 把( )( )F bF a， 记 作( ) |baF x， 即( )( ) |( )( )bbaaf x dxF xF bF a.（2）牛顿 - 莱布尼兹公式的简单推导：（3）微分（导数与微分的关系）A 、导数变微分f （x）= y = dy/dx （导数）=dy= y dx=f （x）dx（微分）B 、dy/dx=(dy/ds)*(ds/dx)在物理中常利用这一性质将dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt)=v*dv/dx从而去掉时间tC 、f （x）dx= F （ x）dx= = dF(x)=dy（4）定积分性质（1）( )( )bbaakfx dxkf x dx；（2）1212( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx（3）( )( )( )()cbbacaf x dxf x dxf x dx acb不必局限于此条件（4）a 到 b 的积分等于b 到 a 积分的相反数（5 被积函数恒正的积分结果符号与上限减下限同（b-a ）（6） a=b 时，积分值为0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - （7）凑微分（8）奇偶函数的积分（5）常见求定积分的公式（与导数对应）（1）11| (1)1bnnbaax dxxnn（2）|bbaacdxcx（C为常数）（3）sincos |bbaaxdxx（4）cossin|bbaaxdxx（5）1ln| (0)bbaadxxbax（6）|bxxbaae dxe（7）| (01)lnxbxbaaaa dxaaa且 （6）定积分与导数之间的关系问题 1. 一物体按规律3xbt做直线运动，式中x为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例常数为0k） ，试求物体由0 x运动到xa时，阻力所做的功.解析： 要求变力所做的功，必须先求出变力对位称x的变化函数( )f x，这里的变力即媒质阻力22( )()F xkvk x，然后根据定积分可求阻力所做之功.解因为物体的速度32()3vxbtbt所以媒质阻力22 49Fkvkb t阻力当0 x时，0t，当xa时，3abt，31atb阻力( )F x所做功112 4200( )93ttwF t dxkb tbt dx1332377201272727|777tkbkbkbttab（7）定积分在求曲边梯形面积问题 2. 求由抛物线28 (0)yx y与直线6xy及0y所围成图形的面积.解析：作出28 (0)yx y及6xy的图形如右：解方程组2860yxxy得24xy解方程组600 xyy得60 xyyx6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 所求图形的面积26028(6)sxdxx dx322620221402|(6) |323xxx（8）求积分的常用方法1、直接积分例 1. 求下列定积分（1）330 x dx（2）0sin xdx（3）201dxx解： （1）321()3xxQ323 33300111|309333x dxxx（2）(cos )sinxxQ00sincos |coscos02xdxx（3）22111ln|ln 2ln1ln 22dxx2、换元法求定积分例 2、计算 :220sin2xdx3、计算分段函数定积分例 3. 、求31ln|eexdxx（凑微分 +换元）例 4、x*exp （x2）练习题一1、计算：22(sin2)xdx解析 :82、设2(01)( )2(12)xxf xxx则20( )f x dx=（）A.34B.45C.56D.不存在解析2122322200111115( )(2)|(2) |326f x dxx dxx dxxxx选 C3、已知120( )(124 ),( )( )3xaf xta dt F af xadx求函数( )F a的最小值 .O26名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4、求在0,2上，由x轴及正弦曲线sinyx围成的图形的面积.5、汽车每小时54 公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3 米/ 秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？练习题二1.620(1)xdx= 2. 1(2)exedxx3.221xxdx= 4.已知221, 2,2( )1,(2,4xxf xxx, 当k= 时, 340( )3kf x dx. 恒成立（ 0 或-1 ）5.求曲线2yx，yx及2yx所围成的平面图形的面积. （76）6.设y=f（x）是二次函数, 方程f（x）=0 有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=t（ 0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值 .解：（1）f（x） =x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=31| )31()12(0123201xxxdxxx.（3）依题意，有xxxxxxttd)12(d) 12(2021，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - 。