2003年高考试题——数学(江苏卷).doc

aa 阿aa 阿aa 阿aa 阿ba 阿ba 阿ba 阿ba 阿O阿O阿O阿O阿(A) (B) (C) (D)2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数 的图象与 x 轴有两上交点，则点（a，b）在 aOb 平面上的区域（不包含边界）为xy22．抛物线 的准线方程是 y=2，则 a 的值为 （ ）2xyA． B．－ C．8 D．－881813．已知 （ ）xxx2tan,54cos),02(则A． B．－ C． D．－477747244．设函数 则 x0 的取值范围是 （ ）,1)(.0,,1)(2fxxf若A． （－1，1） B． （－1，+∞）C． （－∞，－2）∪ （0，+∞） D． （－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）),[),||(PA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心6．函数 的反函数为 （ ）),1(lnxyA． B．,0,ex ),0(,1xeyC． D．),(,1yx ),(,x7．棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A． B． C． D．343a63a123a8．设 曲线 在点 处切线的倾斜角的取值范围为 ，则 P,)(,02cbxxfa)(xfy)(,0xfP]4,0[2到曲线 对称轴距离的取值范围为 （ ）)(xfyA．[ ] B． C． D．a1,0]21,0[a|]2,0[ab|]21|,0[ab9．已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 |m－n|=))((2 nxmx 4（ ）A．1 B． C． D．43218310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0）直线 y=x－1 与其相交于 M、N 两点，MN 中点的横坐7标为 ，则此双曲线的方程是 （ ）32A． B． C． D．14yx1342yx125yx152yx11．已知长方形四个顶点 A（ 0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P 3 和 P4（入射角等于反射角）.设 P4 的坐标为（x 4，0）.若 1< x4<2，则 tanθ 的取值范围是 （ ）A． B． C． D．)1,3()3,(),5(),5(12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）2A．3π B． 4π C． π D．6π3第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，把答案填在题中横线上.13． 展开式中 x9 的系数是 奎 屯王 新 敞新 疆92)1(x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种.（以数字作答）16．对于四面体 ABCD，给出下列四个命题①若 AB=AC，BD=CD，则 BC⊥AD. ②若 AB=CD，AC=BD，则 BC⊥AD.③若 AB⊥AC，BD ⊥CD ，则 BC⊥AD. ④若 AB⊥CD，BD⊥AC，则 BC⊥AD.其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17． （本小题满分 12 分）有三种产品，合格率分别是 0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验.（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001）江苏高考试题 第 3 页 （共 8 页）DEKBC1A1B1A FCG18． （本小题满分 12 分）已知函数 上 R 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间)0,)(sin)( xf )0,43(M上是单调函数，求 和 ω 的值.]2,0[19． （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形， ∠ACB=90°，侧棱 AA1=2，D 、E 分别是CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G.（Ⅰ）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（Ⅱ）求点 A1 到平面 AED 的距离.20． （本小题满分 12 分）已知常数 ，向量 经过原点 O 以 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以0a).0,1(,(iac ic为方向向量的直线相交于点 P，其中 试问：是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.ci2 .R若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由.21． （本小题满分 12 分）已知 为正整数.na,0（Ⅰ）设 ；1)(,)(nxyxy证 明（Ⅱ）设 ).(1)(,,1nfnffn 证 明对 任 意22． （本小题满分 14 分）设 如图，已知直线 及曲线 C： ，C 上的点 Q1 的横坐标为,0aaxyl: 2xy1a（ ）.从 C 上的点 Qn（n≥1）作直线平行于 x 轴，交直线 l 于点 ，再从点 作直线平行于1 nP1ny 轴，交曲线 C 于点 Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列 .（Ⅰ）试求 的关系，并求 的通项公式；na与1na（Ⅱ）当 时，证明 ；2,1kk1213)(（Ⅲ）当 a=1 时，证明 nkka121.)(Ocy lxQ1Q2Q3aa1 a23a3r2r142003 年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分.13． 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C.（Ⅰ） ， 95.0)(,90.)(CPBAP .50)(,10.)(CPP因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 176.095.105.90.2 )()()()()(   BA答：恰有一件不合格的概率为 0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为 )()()()( CPCBAP012.5.109.510.25.90 解法二：三件产品都合格的概率为 8..)()(( 2由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为 .01)76.81.0]76.[1CBAP答：至少有两件不合的概率为 0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满 12 分分 奎 屯王 新 敞新 疆解：由 ),(,)(xffxf得是 偶 函 数 .0cos,0,insico)(in所 以 得且都 成 立对 任 意所 以即江苏高考试题 第 5 页 （共 8 页）.23, ;],0[)sin(),10, ;]2,[)3si()2.,10,(3,31,434coscos)in() ,2,0),43()(,)(.,或综 合 得所 以 上 不 是 单 调 函 数在时当 上 是 减 函 数在时当 上 是 减 函 数在时当 得又得取 得对 称的 图 象 关 于 点由 所 以 解 得依 题 设 xfkfkkfx xffMf 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分.解法一：（Ⅰ）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即 ∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC ， .32arcsin16sin.,,,2.3.,,1, ,,,122所 成 的 角 是与 平 面于 是 中在 直 角 三 角 形的 重 心是连 结 为 矩 形平 面又的 中 点分 别 是 ABDEGEBCFFDABDECEAB（Ⅱ）连结 A1D，有 EADEV11,,, FBFE又, 设 A1 到平面 AED 的距离为 h，B1平 面则 ShAED .261,242111 EDASSEB又 .3.361的 距 离 为到 平 面即h解法二：（Ⅰ）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠A 1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a，6则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) .37arcos.21/4||cos).3,(),2( .1.032103).,(),,0(1111所 成 角 是与 平 面 解 得ABDGaBDEBDCEGA（Ⅱ）由（Ⅰ）有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).,,0)(20,,11 AEAE平 面又平 面 （Ⅰ）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；a（Ⅱ）当 时，方程①表示椭圆，焦点20 )2,1()2,1( aa和（Ⅲ）当 方程①也表示椭圆，焦点 为合乎题意的两个定点.,时a ,0,0FE和（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分 12 分.证明：（Ⅰ）因为 ，nkCx0)(knxa)(所以 10)(nnkaynk0 .)()(111nknax（Ⅱ）对函数 求导数:nnnxf)(nnnnnn aaaxxfxfax )()1(),, .(.0,])[),(11 时当因 此 的 增 函 数是 关 于时当 时当所 以∴ )(1][(1 nnn af ).()()1fnn即对任意 ,1fa22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分 14 分.江苏高考试题 第 7 页 （共 8 页）（Ⅰ）解：∵ ).1,(),1(),( 421221 nnnnn aQaPaQ∴ ∴,1na 221  32232)(() nnaa， ∴ 11112 221 )(nnnn a .)(12nan（Ⅱ）证明：由 a=1 知 ∵ ∴,21n,1a.6,432∵当 。