高数第五章空间解析几何.doc

第五章 空间解析几何一、学习要点：1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；5.知道空间一点到平面的距离公式；6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；　8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形.二、相关知识总结：1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.2.空间直角坐标系中任意两点间的距离公式： .3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示.4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.5.空间向量模的坐标表示：设向量，其模，向量的单位向量：.6.向量的数量积：对于给定的向量，，数称为向量和的数量积，记作.7.向量的向量积：两个向量和的向量积是一个向量，记作，它的模和方向分别定义为：（1）；（2）垂直于和，且，，成右手系. 8.数量积、向量积的坐标运算法：设，，则，.9.两向量垂直、平行的条件及判定：（1）两向量与的对应坐标成比例；（2）两向量.10.方向余弦、向量投影的坐标表达式及有关计算：设，则向量的方向余弦：，，且 .投影公式：.11.空间曲线的一般方程：.12.空间曲线的参数方程：（为参数）.13.空间曲线在坐标平面内的投影： --① ①消去得，则是曲线①在坐标面面上投影.同理，和是曲线①分别在面和面上的投影.14.平面的点法式方程：是平面的一点， 是该平面的法向量,则此平面的方程为: .15.平面的一般式方程： （，，不能同时为）.16.平面外一点到平面的距离的公式：则有：.17.平面和平面的夹角为： （） 的法向量和的法向量则有：.18.直线的一般式、对称式、参数式方程及其求方程的方法.一般式 ，对称式 ， 参数式 （为参数），三种方程形式的相互转化.19.两直线垂直、平行的充分条件及其夹角公式：设直线和直线的方向向量依次为：，，若两直线垂直有：；若两直线平行有：；若两直线相交有：，.20.空间直线与平面的位置关系：设直线的方向向量，平面的法向量，直线与平面垂直有：； 直线与平面平行有：；直线与平面的夹角（）由下列公式给出：.三、重点例题剖析（一）基础题1.一向量与轴正向，轴正向的夹角相等．与轴正向的夹角是前者的两倍，求与向量同方向的单位向量．【分析】　与向量同方向的单位向量就是以向量的方向余弦为坐标的向量．故问题求解的关键在于求出向量的方向余弦． 解　设向量与轴正向、轴正向的夹角为，则它与轴的正向夹角为，那么，的方向余弦分别是，，．故即　　　　　由此得到　　或又　，或，则　，，或，，，因此，所求的单位向量为　或．2.设，，求对应的单位向量及的方向余弦．解　与对应的单位向量是与方向相同的单位向量．因此同上，可求出与方向相同的单位向量：从而，的方向余弦为：，，．3.设未知向量与共线，且满足，求．解（方法1）由于与共线，故设　故　　．(方法2)由于与共线，故可设,则故　　．4.已知向量，，满足,证明：.证　，5.已知三角形三个顶点坐标是，，，求的面积．【分析】　以向量，为邻边的三角形的面积．解　由向量积的定义，可知的面积为：由于，，因此．6.指出下列二次曲面的名称，并作草图．(1)；　 (2)；(3)；　　　　　　(4)．【分析】　对已给出的二次曲面方程，要求判断曲面性质的题型，应先进行简化运算将方程转化成常见的曲面方程形式，然后再进行判断．解　(1)可以将方程写成如下的标准形式：该方程表示单叶双曲面，其草图如图5-1；图5-1(2)方程可写成如下的标准形式：该方程表示双叶双曲面，其草图如图5-2；图5-2(3)方程可写成如下的标准形式：该方程表示椭圆抛物面，其草图如图5-3；图5-3(4)方程可写成如下的标准形式：该方程表示椭圆锥面，它是由标准椭圆锥面的图形平移到使锥面的顶点为时得到的．其草图如图5-４；图5-４7.一动点到平面的距离等于它与轴距离的两倍，又点到的距离为，求动点的轨迹方程．解　设点的坐标为，则到平面的距离为．到轴的距离为，由题设条件，有，即，又到的距离为l， 即 动点的轨迹方程满足：注　此类问题常用到距离公式及向量代数的工具．由所给条件确定动点的坐标所满足的约束方程，如方程是一个，则轨迹为曲面；如方程有两个，则轨迹为曲线．另外，也可以设定参数求动点的轨迹方程．若参数有两个，则轨迹为曲面；若参数只有一个，则轨迹是曲线．8.求二次曲面与三个坐标平面的交线．解　求解空间曲面与坐标平面的交线，只须将已知曲面方程与坐标平面方程联立．此二次曲面为双曲抛物面，它与面的交线为，即．这是面上的抛物线　．曲面与面的交线为，即．这说明曲面与面的交线是面上的两条相交直线和．曲面与面的交线为，即．这是面上的抛物线．9.一平面与原点的距离为 ，且在三坐标轴上的截距之比，求该平面方程． 解　因为截距之比为　，故可设截距　，，，则平面方程可设为 　．此平面与原点的距离：解得 ，则所求平面的方程为： 即 　　10.设直线过点，并且与直线：相交，与直线：垂直，试求直线的方程解　直线的方向向量为，过以为法向量的平面方程为：：由题意知，所求直线在平面上．因直线与直线相交，故与平面也相交，我们可求出与的交点．将转化为参数式，代入平面方程，得．故交点的坐标为．由于直线过和两点，其方向向量与平行，可选择．所以，直线的方程为11.判定下列各组平面与直线间的位置关系：（1）：与：（2）：与：解 （1）的方向向量，的法向量．因为所以．将直线上的定点，代入平面方程不满足，即点不在平面上，因此直线平行于平面但不在平面上． （2）的方向向量，的法向量，因为，且所以与既不平行也不垂直，故与斜交． （二）提高题1.设空间四边形各边的中点依次为、、、．证明：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形的周长等于四边形的两对角线的长度之和．证　设在四边形中，、为两条对角线．（1）在中，由中位线定理知，，同理，， 　即　 且故是平行四边形．（2）分别在及中应用中位线定理，得同理，即四边形的周长等于四边形的两条对角线的长度之和．2.已知,,,求一单位向量,使,且与，共面．解　设所求向量,依题意,有 即 由知， 即 ，由与,共面知，．以上三式联立，解得,,,或 ,．3.设,，问取何值时，最小？并证明：当最小时，．解　 当时，最小．此时4.试用向量方法证明正弦定理：．【分析】　由于正弦定理涉及到三角形的边与它们的夹角，并且是夹角的正弦，这使我们容易想到涉及正弦运算的向量积．证　在中，两边取向量的模，有由此得到　．同理可得　故在中，有．5.根据，的不同取值情况，说明二次曲面的类型．解　(1)当时，是抛物柱面．(2)当，时，若，是椭圆抛物面；若，是双曲抛物面．(3)当，时，若，则方程可化为是椭圆柱面；若，则方程可化为是双曲柱面．(4)当时，若，，方程可化为是椭球面；若，，方程可化为是单叶双曲面；若，，方程可化为是双叶双曲面；若，，方程可化为是单叶双曲面．6.试求到球面：与：的距离之比为的点的轨迹，并指出曲面的类型．解 设所求的动点坐标为，点到的球心的距离为，点到的球心的距离为：，则点到的球面距离为，点到的球面距离为．由已知，得．两边平方，得　　　化简，得　　　．这是一个球面方程．7.求直线绕轴旋转而成的曲面的方程，并按的值讨论它是什么曲面．【分析】　此类问题，应先将所给的曲线方程化为参数方程，再根据旋转轴来求解．解 直线的参数方程为，绕轴旋转而成的曲面的方程为，消去，得．当，时，为圆柱面；当，时，为圆锥面；当，时，为旋转单叶双曲面．8.求曲线：在三个坐标平面上的投影曲线方程．【分析】　从空间曲线的方程中分别消去，，即可得曲线在三个坐标面上的投影柱面方程．再与坐标面方程联立方程组，即得投影曲线方程．解　在中，消去，得这是曲线向平面的投影柱面．此投影柱面与面的交线即为曲线在面上的投影曲线，故即为所求．同理，消去可得曲线向面的投影曲线．消去可得曲线向面的投影曲线．9.求与平面平行，而使点与这两平面的距离相等的平面方程． 解　由题意，所求平面方程可设为由点到这两个平面的距离相等，即得　　 所以 　或从而所求平面的方程为：（与已知平面重合）或.10．求通过直线且与平面：成角的平面方程.解　设过直线的平面束方程为整理得：在平面束中确定所求平面，使其与已知平面成角，故所以 故所求平面为　　值得注意的是，平面束中未包含平面，此平面与已知平面的夹角为因此，该平面与的夹角，亦为所求．所以，所求平面为和．11.设平面方程为，证明：（1）（其中为原点到平面的距离）；（2）平面被三坐标面所截得的三角形面积为．证（1）平面的一般式为：，所以，原点到平面的距离为从而　 （2）方法1 平面与轴、轴、轴的交点分别为：，，则，所以 　　方法2 平面与三坐标面所围的体积为所以12.求过点，且与两个平面，都平行的直线方程，其中：，：解　设直线的方向向量为，根据题设条件知，与和的法向量都垂直，可取所求直线方程为13.求与已知直线：和：都相交，且与：平行的直线方程．分析：所求直线的方向向量为，只要在上找到一个定点，即可使问题获解.最好选择与或的交点．解　将和化为参数方程：： ：设与和的交点分别对应参数和，则知交点分别为，，由于，故整理成方程组，解得．所以，的坐标为．故所求直线方程为：14.设矩阵是满秩的，则直线 （ ）A.相交于一点 B.重合 C.平行但不重合 D.异面【分析】　记，，由于矩阵满秩，所以、 、三点不共线．第一条直线过点且平行于，第二条直线过点且平行于，故两条直线相交．所以，正确答案为（A）．15.求两条直线：，：的公垂线方程．【分析】 公垂线既在由与确定的平面上，又在由与确定的平面上，因此和的交线即为公垂线解　为求的平面方程，可在上选取一个定点，如，至于的法向量可作如下考虑：若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则公垂线方向为，那么，由与所确定的平面，其法向量为．所以的方程为：　即 ．同理，在上选取一个定点，又的法向量为从而得平面的方程为故所求公垂线的方程为16.求直线：在平面：上的投影直线的方程，并确定绕轴旋转一周的旋转面方程．解　首先求出在平面上的投影直线，位于过且与垂直的平面上．的法向量与的法向量垂直，且与的方向向量垂直，故所以的方程为，即．由于位于平面上，因此得其一般式方程下面求直线绕轴旋转的旋转曲面方程，将化为。