自动控制原理 第二章 数学模型.ppt

第二章第二章 线性系统的数学模型线性系统的数学模型 2-1 2-1 引言引言 2-2 2-2 微分方程模型微分方程模型 2-3 2-3 传递传递函数模型函数模型 2-4 2-4 方方块图块图模型模型 2-5 2-5 状状态态空空间间表达式表达式2 21 1 引言引言数学模型数学模型：描述系统输入、输出及内部物理量之：描述系统输入、输出及内部物理量之间关系的数学表达式间关系的数学表达式常用的数学模型：常用的数学模型：微（差）分方程微（差）分方程传递函数（或脉冲传递函数）传递函数（或脉冲传递函数）频率特性频率特性状态空间表达式状态空间表达式1) 1) 为何要建模？为何要建模？ 定量分析系统的性能；定量分析系统的性能； 对系统进行仿真的基础；对系统进行仿真的基础；2) 2) 建模方法建模方法解析法：解析法：根据根据系统及元件各变量之间所遵循的物理、系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律化学定律，列出各变量之间的数学关系式列出各变量之间的数学关系式；实验法：实验法：人为施加某种测试信号，记录系统的响应人为施加某种测试信号，记录系统的响应曲线，曲线，根据系统的输入输出辨识系统模型；根据系统的输入输出辨识系统模型；3) 3) 建模要求建模要求 准确性准确性 简化性简化性一、系统建模一、系统建模 折中考虑折中考虑二、数学模型的分类及形式二、数学模型的分类及形式分类分类静态：静态：静态（稳态）下的静态（稳态）下的代数方程（不含各代数方程（不含各阶导数，信号无变阶导数，信号无变化率）化率）动态：动态：动态条件下的微分动态条件下的微分方程（差分方程）方程（差分方程）形式形式时域：时域：微分方程微分方程差分方程差分方程状态空间表达式状态空间表达式复域：复域：传递函数传递函数结构图（方块图）结构图（方块图）信号流图信号流图频域：频域：频率特性频率特性 z域：域：脉冲传递函数脉冲传递函数集总参数系统集总参数系统分布参数系统分布参数系统定常系统定常系统 时变系统时变系统线性系统线性系统 非线性系统非线性系统SISOSISO系统系统 MIMOMIMO系统系统经典控制理论研究对象是：经典控制理论研究对象是： SISOSISO、集总参数、线性定常系统、集总参数、线性定常系统三、关于系统三、关于系统四、线性系统四、线性系统1 1、线性系统：、线性系统：描述系统的微分方程满足叠加原理。

描述系统的微分方程满足叠加原理叠加原理的意义：对线性系统进行分析和设计时，根据叠加原理的意义：对线性系统进行分析和设计时，根据线性系统的叠加原理，可以把复杂的问题简单化：线性系统的叠加原理，可以把复杂的问题简单化：1 1、每个外作用在数值上可以只取单位值；、每个外作用在数值上可以只取单位值；2 2、如果有几个外作用同时作用于系统时，可以依次求、如果有几个外作用同时作用于系统时，可以依次求出各个外作用单独作用于系统时的输出，然后叠加得出各个外作用单独作用于系统时的输出，然后叠加得到总输出；到总输出；3 3、系统的全响应分为零输入响应和零状态响应，可以、系统的全响应分为零输入响应和零状态响应，可以分别进行分析和求解；分别进行分析和求解； 根据线性系统的叠加原理，可以把复杂的问题简单化：根据线性系统的叠加原理，可以把复杂的问题简单化：1 1、每个外作用在数值上可以只取单位值；、每个外作用在数值上可以只取单位值；2 2、如果有几个外作用同时作用于系统时，可以依次求、如果有几个外作用同时作用于系统时，可以依次求出各个外作用单独作用于系统时的输出，然后叠加得出各个外作用单独作用于系统时的输出，然后叠加得到总输出；到总输出；3 3、系统的全响应分为零输入响应和零状态响应，可以、系统的全响应分为零输入响应和零状态响应，可以分别进行分析和求解；分别进行分析和求解；试问：某系统静特性如下图，从控制理论的观试问：某系统静特性如下图，从控制理论的观点看此系统是线性系统吗？点看此系统是线性系统吗？结论：此系统不是线性系统。

结论：此系统不是线性系统原因：原因： 自动控制系统一般都有一个自动控制系统一般都有一个平衡平衡工作点工作点，特别是恒值控制系统主要研，特别是恒值控制系统主要研究系统处于平衡工作点时，扰动作用究系统处于平衡工作点时，扰动作用产生偏差后的动态过程产生偏差后的动态过程错错）yxx0y0bA Ao设系统的平衡工作点为设系统的平衡工作点为 ，经扰动作用后工作于，经扰动作用后工作于 ，则：，则：(2)-(1)(2)-(1)得：得：结论：控制理论是研究系统结论：控制理论是研究系统在平衡工作点附近的性能，在平衡工作点附近的性能，是研究变量的是研究变量的增量增量之间的关之间的关系，称为系，称为动态关系动态关系y yx xx x0 0+ +x xx x0 0y y0 0y y0 0+ +y yb bA AA Ao o2 2、非线性系统的线性化、非线性系统的线性化小偏差理论小偏差理论小偏差理论小偏差理论适用范围：适用范围：1 1）连续系统；）连续系统；2 2）有一个额定工作点；）有一个额定工作点；3 3）小偏差；）小偏差；4 4）在工作点处可微；）在工作点处可微；饱和特性饱和特性磁滞特性磁滞特性继电特性继电特性实质：在工作点处，用切线来代替非线性特性。

实质：在工作点处，用切线来代替非线性特性A不可微不可微 本质非线性本质非线性 非线性理论非线性理论小偏差理论小偏差理论适用范围：适用范围：1 1、连续系统；、连续系统；2 2、有一个额定工作点；、有一个额定工作点；3 3、小偏差；、小偏差；4 4、在工作点处可微；、在工作点处可微；小偏差理论小偏差理论继电特性继电特性总结：总结： 1 1、关于模型：建模的意义，形式、方法、关于模型：建模的意义，形式、方法2 2、关于系统：、关于系统： 控制理论中线性系统是指控制理论中线性系统是指增量线性增量线性的的系统；系统； 对于非线性系统，运用对于非线性系统，运用小偏差理论小偏差理论，在工作点处近似为，在工作点处近似为 增量式线性方程；增量式线性方程；本章主要内容：本章主要内容：微分方程的建立（时域）微分方程的建立（时域）传递函数的概念与求取（复域）传递函数的概念与求取（复域）方块图的建立和化简（时域或复域）方块图的建立和化简（时域或复域）状态空间表达式（时域）状态空间表达式（时域）返回首页2-22-2 线线性系性系统统的微分方程的微分方程 微分方程的建立微分方程的建立 相似系统相似系统本节内容：本节内容：一、用一、用解析法解析法列写系统微分方程的一般步骤为：列写系统微分方程的一般步骤为：1 1、确定系统或元件的输入、输出变量；、确定系统或元件的输入、输出变量；3 3、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理定理，列写出原始微分方程组；量所遵循的物理定理，列写出原始微分方程组；4 4、消去中间变量，写出只含有输入、输出变量的微消去中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程。

分方程5 5、标准化输出项降阶排列输入量降阶排列）标准化输出项降阶排列输入量降阶排列）2 2、进行适当的简化，忽略次要因素；、进行适当的简化，忽略次要因素；注意：若有注意：若有a个中间变量，就要列写个中间变量，就要列写a+1个个线性无关线性无关的方程用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：设一弹簧、质量块、设一弹簧、质量块、阻尼器阻尼器组成的系统如图所示，组成的系统如图所示，原原处于平衡状态处于平衡状态，当外力，当外力F(t)F(t)作用于系统时，系统将产作用于系统时，系统将产生运动试写出外力生运动试写出外力F(t)F(t)与质量块的位移与质量块的位移y(t)y(t)之间的之间的微分方程微分方程 线性弹簧；线性弹簧； 忽略弹簧、阻尼器质量；忽略弹簧、阻尼器质量； 质量与阻尼器是刚性连接；质量与阻尼器是刚性连接；1 1、输入：、输入： 输出：输出：解：解：例例2-12-12 2、简化、简化kF(t)mfy(t)阻尼力：阻尼力：弹簧力：弹簧力：由阻尼器、弹簧的特性可得：由阻尼器、弹簧的特性可得：式中式中 f f阻尼系数阻尼系数, k, k弹性系数弹性系数。

F F1 1(t)(t)为阻尼器的阻力，为阻尼器的阻力，F F2 2(t)(t)为弹簧力为弹簧力3 3、依据牛顿定律：、依据牛顿定律：kF(t)mfy(t)4 4、消去中间变量：、消去中间变量：5 5、标准化、标准化（输出项降阶排列输入量降阶排列）（输出项降阶排列输入量降阶排列）质量块质量块: : RLC RLC电路如图所示，电路如图所示， u ur r(t)(t)为输入电压，为输入电压， u uc c(t)(t)为输为输出电压，输出端开路要求列出电压，输出端开路要求列出出u uc c(t)(t)与与u ur r(t)(t)的关系式的关系式1 1、输入：、输入： 输出：输出：2 2、简化、简化 解：解：3 3、根据克希霍夫定律根据克希霍夫定律 写出原始方程式：写出原始方程式：4 4、消去消去中中间变间变量量i(t)，并且标准化：，并且标准化：例例2-22-2克希霍夫电压定律克希霍夫电压定律：在集总参数电路中，任何：在集总参数电路中，任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于等于0.相似系统相似系统相似系统相似系统：本质不相同的物理系统：本质不相同的物理系统具有相同结构具有相同结构的微分方程。

的微分方程相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系为我们利用简单易实现的系统（如为我们利用简单易实现的系统（如电气系统电气系统）去研究复杂）去研究复杂难实现的系统（如难实现的系统（如机械系统机械系统）提供了方便提供了方便P41:P41:习题习题2 23 3 设机械系统如图所示，其中设机械系统如图所示，其中X Xi i为输入位为输入位移，移，X X0 0为输出位移试分别列写各系统的微分方程式为输出位移试分别列写各系统的微分方程式2 2、简化、简化（线性弹簧；忽略弹簧、阻尼器质（线性弹簧；忽略弹簧、阻尼器质 量；刚性连接；）量；刚性连接；）解：解：3 3、列原始方程组：、列原始方程组：1 1、输入：、输入： 输出：输出：4 4、消去中间变量，标准化：、消去中间变量，标准化：设阻尼块向下位移为设阻尼块向下位移为x xf f(t)(t)例例2 23 3K1K1K2K2f fxixixoxo该题关键在于阻尼器向下位移为该题关键在于阻尼器向下位移为xfxf，缸体向下位移为，缸体向下位移为xoxo，那么两者的相对位移为那么两者的相对位移为xf-xoxf-xoP42:P42:习题习题2 27 7 设设RCRC电路如图所示，若以电压电路如图所示，若以电压u ur r为输入，电压为输入，电压u uc c为输出，试写出该电路的微为输出，试写出该电路的微分方程。

分方程urR1R2ucC2i1i2C1解：解：1 1、输入：、输入： 输出：输出： 2 2、简化、简化例例2 24 4urR1R2ucC2i1i2C1 4 4、消去中间变量，且标准化得：消去中间变量，且标准化得：3 3、设回路电流设回路电流i1i1、i2i2如图中所示，从输入端开始，按信号如图中所示，从输入端开始，按信号 传递顺序写出各变量间的微分方程式如下：传递顺序写出各变量间的微分方程式如下：uc1注注意意 整整个个电电路路虽虽然然是是由由两两个个RCRC电电路路所所组组成成，但但不不能能把把它它看看作作是是两两个个独独立立的的RCRC电电路路的的连连接接因因为为第第二二级级电电路路的的i i2 2要要影影响响第第一一级级电电路路的的i i1 1和和u uc1c1，列列写写方方程程式式应应考考虑虑这这个个影影响响这这种种后后一一级级对对前前一一级级的的影影响响叫叫做做负负载载效效应应存存在在负负载载效效应应时时，必必须须把把全全部部元元件作为整体来加以。