磁场区域的最小面积问题.docx

考题中多次出现求磁场的最小围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高 其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁 场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定下面我 们以实例对此类问题进行分析一、磁场围为树叶形例1•如图所示的直角坐标系第I、II象限存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T，处于坐标原点O的放射源不断地放射出比荷2 = 4x 106C/kg的正离子，不计离子之间的相互作用m⑴求离子在匀强磁场中运动周期；⑵若某时刻一群离子自原点0以不同速率沿x轴正方向射出，求经过巴x 10-6s时间这些离子所在位置6 构成的曲线方程；⑶若离子自原点O以相同的速率v0=2.0x106m/s沿不同方向射入第I象限，要求这些离子穿过磁场区域 后都能平行于y轴并指向y轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？ 并求出调整后磁场区域的最小面积15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有qvB = —R 2分2兀R 2兀m “运动周期T = = =兀x10-6s 2分v qB兀 r c 1 f⑵离子运动时间t = X10-6 s = T 2分66根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动 转过的角度均为1 x 2兀=壬 1分63这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上，该直线方程y二x tan2 二 x2分⑶离子自原点O以相同的速率V。

沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有mv 2qv B = 令 2 分o RmvR = 0 = 1 m 1分qB这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（1,0 ）为圆心、半径R=1m的四分之一 圆弧（从原点O起顺时针转动90上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 2分c c /兀 R 2 R 2 兀一 2调整后磁场区域的最小面积S. = 2 x （「厂-帀-）=十一m2 2分min 4 2 2例2 •如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l到y轴区域存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场, 其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向在电场左边界上A （-21 到C （-210）区域的某些位置，分布着电荷量+q.质量为m的粒子从某时刻起A点到C点间的粒子,依次以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A（O,I沿x轴正 方向射出电场，其轨迹如图所示不计粒子的重力及它们间的相互作用1） 求匀强电场的电场强度E：（2） 若带电粒子通过电场后都能沿x轴正方向运动，请推测带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离。

3） 若以直线x=2l上的某点为圆心的圆形区域，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正 方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收解析】d）从址点射出的粒子，由盘到才的运动时何为農 根攜运动軌仍利对称性可得工轴方向F轴方向得*沁⑵ 设到C?点距离为处射出的粒子通建电场后也沿工牺正方向、粒子第一號达工 轴用时ZU氷平位移为2 则Ax v^t 纫址（山$若谶足％ = n-26xf则从电场射出时的谨度方向也糕沿丫轨正方向解之得’ Ay = -LlS£（^）2 = |⑶当nF时・粒子射出的坐标为?| =/0当尸2时，粒子射出的坐标为廿*<2分）(2 5H<4音｝当H出时.粕T轴正方向射出的粒子分布左片到片庄间（如谢圖力之间肘 距禹为 £=川一户奈扌厶 CI iV ）门分）眦跚助半径为“汽CI#）（!裁）若使粒子境盛畅停转后汇畫于一点*粒子的运动半怪与磯场倒的半径相答（:如图片｛轨迹圆与谨场圆柏交*四边形卢6"：为械務〉朝申小叫R 衛甘二聖巴_JJx=2lvr " 11€-+—$ /〔i二、磁场围为圆形例1•如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称, PQ间的距离d=30cm。

坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E=1.0N/C一带电油滴在xOy平面,从P点与x轴成30的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所带电荷量q=1.0xl0-7C,重力加速度为 g-10m/s21）求油滴的质量m2）若在空间叠加一个垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场，使油V滴通过Q点，且其运动轨迹关于y轴对称已知磁场的磁感应X强度大小为B=2.0T,求：P0Qa •油滴在磁场中运动的时间t; b •圆形磁场区域的最小面积S解析】（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有qE - mg = 0所以 m = ^~ = 1.0 x 10-8 kg （4 分）g（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动 设圆周运动的半径为R、运动周期为T、油滴在磁场中运动的时 间为t,根据牛顿第二定律：所以 qvB =竺2 n R =竺=0.10 mR qB所以2k R=0.1k s3分）设带电油滴从M点进入磁场，从N点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y轴对称，如图所示，根据几何关系可知上MO'N = 60 ,所以，带电油滴在磁场中运动的时间T = 0.1k6 一 6由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等。

根据几何关系可—一 R sin 30知,PM = NQ = 2-cos30PM 0 1 L所以油滴在P到M和N到Q过程中的运动时间[=t3 =〒=亍S则油滴从P到Q运动的时间t = [ + t— + t3 =（号方+ ¥ nS〜017 S……（8(3)连接MN,当MN为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，如图所示根据几何关系圆形磁场的半 径r = R sin 30 = 0.05 m其面积为 S =kr2 = 0.0025兀 m2〜7.9xlZg m2 (6 分)三、磁场围为矩形例1：如图所示，直线OA与y轴成0 = 30在AOy围有沿y轴负方向的匀强电场， 在AOx围有一个矩形区域的匀强磁场，该磁场区域的磁感应强度B = 0.2T，方向垂直 纸面向里一带电微粒电荷量q = +2x 10-14C，质量m = 4x 10-20kg，微粒在y轴上的 某点以速度Vo垂直于y轴进入匀强电场，并以速度v = 3x104m/s垂直穿过直线OA， 运动中经过矩形磁场区域后，最终又垂直穿过x轴不计微粒重力，求：结果保留两位 有效数字)(1) 带电微粒进入电场时的初速度寫多大?(2) 带电微粒在磁场中做圆周运动的半径r(3) 画出粒子运动轨迹图并求出最小矩形磁场区域的长和宽。

解析：带电微粒做类平抛运动v = v cos30 2.6 x 104m/s ①o(2) 洛仑兹力提供向心力，有V 2qvB = m ②rr = mV = 0.30m ③qB(3) 画出粒子的运动轨迹如图所示④设最小矩磁场区域的长为a、宽为b，由数学知识可知a=2R=0.60m ⑤b = r cos300 + r ⑥b = 0.56m ⑦例2：如图所示，第四象限有互相正交的匀强电场E与匀强磁场By E的大小为 0.5x103V/m，B］大小为0.5T ；第一象限的某个矩形区域，有方向垂直于纸面向 里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合一个质量m=1x10-14kg、电荷量 q=1x10-10C的带正电的微粒以某一速度v沿与y轴正方向成60°角从M点沿直 线运动，经P点进入第一象限的磁场B2区域一段时间后，小球经过y轴上的 N点并沿与y轴正方向成60°角的方向飞出M点的坐标为(0, -10)，N点的坐 标为(0，30)，不计粒子重力，取g=10m/s21) 请分析判断匀强电场E的方向并求出微粒的运动速度v ；O研二厂冬JX X血n(2) 匀强磁场B2为多大？(3) B2磁场区域的最小面积为多少？E解析：(1) qvB = qE，所以 v = = l・0x 103 m/s1 B1E方向如图(2) r =也 OM = 02 3，由 r =竽，得 B2 =五 T3 3 qB 2 2 2最小面积如图阴影部分：0.2 x 0"斗二 150 m2四、磁场围为三角形及其他形状例1•如图所示，在倾角为30。

的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P, OP=0.5m.现有一质量 m=4x10- 20kg,带电量q=+2x10~c的粒子，从小孔以速度v°=3x104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方 向垂直纸面向里的一圆形磁场区域•且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计•求：(1) 粒子在磁场中做圆周运动的半径；(2) 粒子在磁场中运动的时间；(3) 圆形磁场区域的最小面积.(4) 若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不 碰到挡板，其他条件不变，求：此正三角形磁场区域的最小边长v2解析:⑴由qvB = m ,r2兀 r mv得：r = = 0.3mv qB5⑵画出粒子的运动轨迹如图，可知知=6「得：5nm 5兀 “ “ “t = = x 10 - 5 s = 5.23 x 10 - 5 s3qB 3(3)无确定解，圆形面积只能无限接近s =兀厂2 = 0.09兀(m2)(4)由数学知识可得：L = 2r + r迂30 得：cos 30°l=qB+1)=纸3 + 3 = 0.99m10例2 •如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O,二者夹角(=30°,在MO左侧存在电场强度为E、方向 竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的E边界上•现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面以速度v(0 < v < )垂直于MO从O点射入磁场,B所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左•不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：(1)速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间.(2)磁场区域的最小面积.(3)根据你以上的计算可求出粒子射到PQ上的最远点离O的距离，请写出该距离的大小(只要写出最远距离 的最终结果，不要求写出解题过程)【答案】(1)2(3右+“) m 或血3 + 2"巴t = —3 —涵 3 qBQ…=(甘)器或G冲)芽(3)d =占严(4、3 +1 mv2 qB 2 2 qB【解析】（1）（11分）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R,周期为T, 粒子在。