高考数学 6.1不等关系与不等式配套课件 文 新人教A版.ppt

第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1.1.两个实数比较大小的法则两个实数比较大小的法则关系关系法法 则则作差法则作差法则作商法则作商法则a>ba>b____________ __1(a,b>0) __1(a,b>0)或或 __1(a,b<0)__1(a,b<0)a=ba=b____________ __1 __1（（b b≠≠0)0)a0) __1(a,b>0)或或 __1(a,b<0)__1(a,b<0)a-b>0a-b>0> >< >2.2.不等式的基本性质不等式的基本性质性质性质具体名称具体名称性质内容性质内容特别提醒特别提醒 （（1 1））对称性对称性a>ba>b⇔⇔________⇔⇔（（2 2））传递性传递性a>b,ba>b,b>c>c⇒⇒________⇒⇒（（3 3））可加性可加性a>ba>b⇔⇔________________⇔⇔（（4 4）） 可乘性可乘性 注意注意c c的符号的符号 bca>ca+c>b+ca+c>b+c性质性质具体名称具体名称性质内容性质内容特别提醒特别提醒 （（5 5）） 同向可加性同向可加性⇒⇒（（6 6））同向同正同向同正可乘性可乘性⇒⇒（（7 7））可乘方性可乘方性a>b>0a>b>0⇒⇒__________(n(n∈∈N,nN,n≥≥2)2) a a，，b b同为正数同为正数（（8 8））可开方性可开方性a>b>0a>b>0⇒⇒________________(n∈N,n≥2)(n∈N,n≥2)a+c>b+da+c>b+dac>bdac>bda an n>b>bn n3.3.不等式的倒数性质不等式的倒数性质（（1 1））a a＞＞b,abb,ab＞＞0 0⇒⇒（（2 2））a a＜＜0 0＜＜b b⇒⇒（（3 3））a a＞＞b b＞＞0,00,0＜＜c c＜＜d d⇒⇒（（4 4））0 0＜＜a a＜＜x x＜＜b b或或a a＜＜x x＜＜b b＜＜0 0⇒⇒＜＜＜＜＞＞＜＜＜＜判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打““√√””或或““×”×”））. .（（1 1）在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍）在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立然成立.( ).( )（（2 2）同向不等式具有可加性和可乘性）同向不等式具有可加性和可乘性.( ).( )（（3 3）若两个数的比值大于）若两个数的比值大于1 1，那么分子就大于分母，那么分子就大于分母.( ).( )（（4 4）一个数越大，它的倒数不一定越小）一个数越大，它的倒数不一定越小.( ).( )（（5 5）当）当x>-3x>-3时，一定有时，一定有 ( )( )【解析【解析】】（（1 1）错误）错误. .在一个不等式的两边同乘以一个正数时，在一个不等式的两边同乘以一个正数时，不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向. .（（2 2）错误）错误. .同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性. .（（3 3）错误）错误. .只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立. .（（4 4）正确）正确. .例如，例如，2<32<3时，有时，有 但但-2<2-2<2时，却有时，却有（（5 5）错误）错误. .由由x>-3x>-3应该得到应该得到 或或答案：答案：（（1 1））×× （（2 2））×× （（3 3））×× （（4 4））√ √ （（5 5））××1.1.若若a<0a<0，，-11>ba>1>b，下列不等式中不一定成立的是，下列不等式中不一定成立的是( )( )(A)a-b>1-b (B)a-1>b-1(A)a-b>1-b (B)a-1>b-1(C)a-1>1-b (D)1-a>b-a(C)a-1>1-b (D)1-a>b-a【【解析解析】】选选C.C.由由a>1a>1知知a-b>1-b,a-b>1-b,故故A A正确；由正确；由a>ba>b知知a-1>b-1,a-1>b-1,故故B B正确正确; ;由由1>b1>b知知1-a>b-a,1-a>b-a,故故D D正确，正确，C C项错误，如当项错误，如当a=3a=3，，b=-3b=-3时不成立时不成立. .3.x+y<43.x+y<4的一个充分不必要条件是的一个充分不必要条件是( )( )(A)x<2(A)x<2或或y<2 (B)x<2y<2 (B)x<2且且y<2y<2(C)x<2(C)x<2且且y>2 (D)x<2y>2 (D)x<2或或y>2y>2【【解析解析】】选选B.B.由不等式的性质知，当由不等式的性质知，当x<2x<2且且y<2y<2时必有时必有x+y<4,x+y<4,但但当当x+y<4x+y<4时，不一定有时，不一定有x<2x<2且且y<2,y<2,如当如当x=1,y=2x=1,y=2时就不成立时就不成立. .4. 4. 与与 的大小关系是的大小关系是________.________.【解析【解析】】因为因为 而而 所以所以 即即答案：答案：5.5.已知已知-2-4.2>-4.(2)(2)不等关系也可以表示变量与常量之间的不等关系，如不等关系也可以表示变量与常量之间的不等关系，如2a≤5.2a≤5.(3)(3)不等关系还可以表示函数与函数之间的不等关系，如不等关系还可以表示函数与函数之间的不等关系，如f(x)0.5-x>0.而要构成三角形，还要满足而要构成三角形，还要满足(5-x)+(5-x)+(12-x)>13-x.(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)(5-x)2 2+ +(12-x)(12-x)2 2<(13-x)<(13-x)2 2，故，故x x应满足的不等关系如下：应满足的不等关系如下：考向考向2 2 比较大小比较大小【典例【典例2 2】】（（1 1）若实数）若实数a≠1,a≠1,比较比较a+2a+2与与 的大小的大小. .（（2 2）已知）已知θ∈(0, θ∈(0, ），且），且a=2sina=2sin2 2θ+sin θ+sin 2 2θθ，，b=sin θ+cosb=sin θ+cos θ θ，试比较，试比较a a与与b b的大小的大小. .【思路点拨【思路点拨】】（（1 1）运用作差法进行比较，同时注意对实数）运用作差法进行比较，同时注意对实数a a进行讨论进行讨论. .（（2 2）由于作差法不易比较，且）由于作差法不易比较，且a a与与b b均为正数，可均为正数，可用作商法比较用作商法比较. .【规范解答【规范解答】】（（1 1））由于由于所以当所以当a>1a>1时，时， 有有当当a<1a<1时，时， 有有（（2 2）由于）由于θ∈(0, )θ∈(0, )，，所以所以a=2sina=2sin2 2θ+sin 2θ>0θ+sin 2θ>0，，b=sin θ+cosb=sin θ+cos θ >0 θ >0，，而而因为因为θ∈(0, )θ∈(0, )，所以，所以sin θ∈(0, )sin θ∈(0, )，，2sin θ∈(0,1)2sin θ∈(0,1)，即，即0< <10< <1，故必有，故必有a0θ+sin 2θ>0，，b=sin θ+cosb=sin θ+cos θ>0 θ>0，，而而因为因为θ∈( ),θ∈( ),所以所以sin θ∈( ),sin θ∈( ),2sin θ∈(1,2),2sin θ∈(1,2),即即 >1,>1,故必有故必有a>b.a>b.【拓展提升【拓展提升】】1.1.作差法比较大小的方法步骤作差法比较大小的方法步骤比较两个实数或代数式值的大小问题的方法一般有两种：作差比较两个实数或代数式值的大小问题的方法一般有两种：作差法和作商法法和作商法. .其中作差法的主要步骤是：其中作差法的主要步骤是：①①作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差；作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差；②②变形：目变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子（分母）有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论（分母）有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；以判断差的符号；③③定号：若定号：若a-b>0a-b>0，则，则a>ba>b；若；若a-b<0a-b<0，则，则a1>1，，b>0,b>0,则则a>ba>b；若；若 >1>1，，b<0,b<0,则则a5x>5，， 则则P P与与Q Q的大小关系是的大小关系是_________._________.【解析【解析】】而而所以必有所以必有P>Q.P>Q.答案：答案：P>QP>Q考向考向 3 3 不等式的性质及其应用不等式的性质及其应用【典例【典例3 3】】(1)(1)已知已知a,b,c,da,b,c,d为实数，且为实数，且c>dc>d，则，则““a>ba>b””是是““a-c>b-da-c>b-d””的的( )( )（（A A）充分不必要条件）充分不必要条件（（B B）必要不充分条件）必要不充分条件（（C C）充要条件）充要条件（（D D）既不充分也不必要条件）既不充分也不必要条件（（2 2）（）（20122012··湖南高考）设湖南高考）设a>b>1,c<0a>b>1,c<0，给出下列三个结论：，给出下列三个结论：① ②① ②a ac c＜＜b bc c；；③③loglogb b(a-c)>log(a-c)>loga a(b-c(b-c) )，其中所有的，其中所有的正确结论的序号是正确结论的序号是( )( )(A)① (B)①②(A)① (B)①②(C)②③ (D)①②③(C)②③ (D)①②③（（3 3）已知）已知-1<2x-1<1-1<2x-1<1，则，则 的取值范围是的取值范围是_________._________.【思路点拨【思路点拨】】（（1 1）根据充分必要条件的定义进行判断，利用）根据充分必要条件的定义进行判断，利用不等式性质肯定一个结论，或取特殊值否定一个结论不等式性质肯定一个结论，或取特殊值否定一个结论. .（（2 2）可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调）可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较. .（（3 3）先求出）先求出x x的范围，再求的范围，再求 的范围，从而求出的范围，从而求出 的取值的取值范围范围. .【规范解答【规范解答】】（（1 1）选）选B.B.由于由于c>dc>d，所以，所以-d>-c-d>-c，因此当，因此当a>ba>b时时能够推出能够推出a-d>b-ca-d>b-c，但不一定有，但不一定有a-c>b-da-c>b-d，如，如a=3,b=2,c=4,d=1.a=3,b=2,c=4,d=1.但当但当c>dc>d且且a-c>b-da-c>b-d时，必有时，必有a>b,a>b,所以是必要不充分条件所以是必要不充分条件. .故选故选B.B.（（2 2）选）选D.D.由不等式由不等式a>b>1a>b>1知知 又又c<0c<0，所以，所以 ①①正确；正确；根据幂函数根据幂函数y=xy=xc c在（在（0 0，，+∞)+∞)上的单调性知上的单调性知②②正确；由正确；由a>b>1a>b>1，，c<0c<0知知a-c>b-ca-c>b-c>1-c>1>1-c>1，由对数函数的图象与单调性知，由对数函数的图象与单调性知③③正确正确. .故选故选D.D.（（3 3）由）由-1<2x-1<1-1<2x-1<1，得，得0a,ax>a,a>0>0，则，则 (2)(2)若若x>a,ax>a,a<0<0，则，则 或或 (3)(3)若若x0>0，则，则 或或【变式训练【变式训练】】（（1 1）下列命题中为真命题的是）下列命题中为真命题的是_______._______.①①若若a>b,a>b,则则②②若若a>b>0,c>d>0,a>b>0,c>d>0,则则③③若若a>b,a>b,且且a,b∈Ra,b∈R, ,则则④④若若α∈α∈［［ ］，则］，则1-sin α>0.1-sin α>0.【解析【解析】】由于由于 所以所以①①是错误的；由于是错误的；由于a>b>0,c>d>0,a>b>0,c>d>0,所所以以a a2 2>b>b2 2>0, >0, 所以所以 故故所以所以②②正确；由于函数正确；由于函数 是减函数，是减函数，a>b,a>b,所以所以故故③③正确；当正确；当 时，时，1-sin α=0,1-sin α=0,故故④④不正确不正确. .答案：答案：②③②③(2)(2)若若1<α<3,-4<β<2,1<α<3,-4<β<2,则则α-|βα-|β| |的取值范围是的取值范围是_____._____.【解析【解析】】因为因为-4<β<2,-4<β<2,所以所以0≤|β|<4,0≤|β|<4,于是于是-4<-|β|≤0,-4<-|β|≤0,又又1<α<3,1<α<3,所以所以-3<α-|β-3<α-|β|<3.|<3.答案：答案：(-3,3)(-3,3)【创新体验【创新体验】】不等式与函数的融合不等式与函数的融合【典例【典例】】(2012(2012··浙江高考）设浙江高考）设a a＞＞0 0，，b b＞＞0 0，，e e是自然对数的底是自然对数的底数数( )( )（（A A）若）若e ea a+2a=e+2a=eb b+3b+3b，则，则a a＞＞b b（（B B）若）若e ea a+2a=e+2a=eb b+3b+3b，则，则a a＜＜b b（（C C）若）若e ea a-2a=e-2a=eb b-3b-3b，则，则a a＞＞b b（（D D）若）若e ea a-2a=e-2a=eb b-3b-3b，则，则a a＜＜b b【思路点拨【思路点拨】】【规范解答【规范解答】】选选A.A.由于由于a>0,b>0,a>0,b>0,且且e ea a+2a=(e+2a=(eb b+2b)+b,+2b)+b,所以有所以有e ea a+2a>e+2a>eb b+2b,+2b,设函数设函数f(xf(x)=e)=ex x+2x,+2x,显然函数显然函数f(xf(x) )在（在（0 0，，+∞)+∞)上单调递增上单调递增, ,又又f(a)>f(bf(a)>f(b),),所以有所以有a>b.a>b.故故A A正确，正确，B B错误错误. .又又e ea a-2a=(e-2a=(eb b-2b)-b-2b)-b，所以，所以e ea a-2a0)>0可得可得x>lnx>ln 2 2，，所以函数所以函数g(xg(x) )在在(0,ln 2)(0,ln 2)上递减，在上递减，在(ln(ln 2,+∞) 2,+∞)上递增上递增. .因此因此由由g(a)ba>b，将，将A A，，B B两杯盐水混合后，两杯盐水混合后，盐水的浓度变为盐水的浓度变为 则有则有 故有故有答案答案：：1.1.若若a>1,b<1a>1,b<1，那么下列式子中正确的是，那么下列式子中正确的是( )( )(A) (B) (A) (B) (C)|a|>|b| (D)ab|b| (D)ab1,b<1a>1,b<1得得a-1>0,b-1<0a-1>0,b-1<0，，所以所以(a-1)(b-1)<0(a-1)(b-1)<0，展开整理即得，展开整理即得ab-2x>-2且且x≠0x≠0，则，则 的取值范围是的取值范围是( )( )(A)(-∞,- ) (B)(- ,0)(A)(-∞,- ) (B)(- ,0)(C)(0,+∞)∪(- ,0) (D)(0,+∞)∪(-∞,- )(C)(0,+∞)∪(- ,0) (D)(0,+∞)∪(-∞,- )【解析【解析】】选选D.D.因为因为x>-2x>-2且且x≠0x≠0，所以当，所以当x>0x>0时有时有当当-2N (B)MN (B)M0(sin α-1)(cos β-1)>0，故，故M >N.M >N.。