全国大学生数学竞赛(河北赛区)试题及答案.doc

河北省大学生数学竞赛试题及答案一、(本题满分10 分) 求极限解】 因在上连续，故存在，且=， 所以，二、(本题满分10 分) 请问为何值时下式成立【解】注意到左边得极限中，无论为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有，当时使用洛必达法则得到 ，由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若，则，综上所述，得到如下结论：或三、(本题满分10 分) 计算定积分解】 作变换，则 ，所以，四、(本题满分10 分) 求数列中的最小项解】 因为所给数列是函数当x分别取时的数列又且令，容易看出：当时，；当时，所以，有唯一极小值而，因此数列的最小项五、(本题满分10 分) 求解】 考虑幂级数其收敛半径为 ，收敛区间为，当时，收敛；当时，发散，因此其收敛域为设其和函数为，则，于是， 故，六、(本题满分10 分) 设，其中为连续函数，求解】 原方程可写为， 上式两端对求导得 （*） 两端再对求导得 即 这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知，由（*）式知。

特征方程为 ， 齐次通解为 设非齐次方程特解为 ，代入得 则非齐次方程通解为 由初始条件 和可知， 七、(本题满分10 分) 在过点和的曲线族中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分的值最小解】 令，得；又，则在处取极小值，且a =1是I (a)在(0,+∞)内的唯一极值点，故a =1时I (a)取最小值，则所求曲线为八、(本题满分10 分) 设f (x)在[−1,1]上有二阶导数，且，证明：1．，x∈[−1,1]2． f (x) = x在[−1,1]上有且只有一个实根证明】1. 由泰勒公式 ， 两式相减并整理得 于是, 由于，因此，2. 令但F(x)在[−1,1]上连续，由介值定理知，F(x)在[−1,1]上至少有一个零点又由1可知，故在[−1,1]上严格单调，从而至多有一个零点这样F(x)在[−1,1]上有且只有一个零点，即f (x) = x 在[−1,1] 上有且只有一个实根九、(本题满分10 分) 设在为连续函数,则。

解】令则，则所以 即 c为常数而 ，特别地 即 十、(本题满分10 分) 设是[0,1]上的连续函数，证明证法一】 设由于，所以 证法二】 。