近世代数 第20讲.docx

第20讲§5子环、环的同态（Subgroup and homomorphism of ring ）本讲的教学目的和要求：本讲的内容出发点都是跟循群认的思 略，环一一子环的定义一一子环的实例一一环同态（尤其是环同 态满射）一一同态映射（满射）所能传递的代数性质和不能传递 的代数性质本讲中，要求能弄略和领会环同态与群同态的区别所在1、 子环的定义，尤其是子整环，子除环和子域的定义特 别一提的是：一个环可能不是什么特殊环，但却是特殊子环2、 扩环与子环之间在单位元变换性，零因子和环的特殊性 方面都具有“转变”的特点，这是与群截然不同的地方4、 环同态映射（既使是环同态满射）也有一些性质不能传 递过去5、 环同构的应用一一挖补定理本讲的难点和重点：本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些 困难之处1、 环与子环之间的性质“变异”问题2、 环同态的保性质问题3、 挖补定理中“ S现为R的子环”的不同理一、子环的定义例子和简单性质.定义1.设R是一个环，而S是R的一个非变子集，如果关于R中的 加法和乘法，S本身做成一个环，则称S为R的一个子环, 同时称R为的S扩环.显然，子环上述的定义显得有些“虚”，或者说不易操作.仔细分析 一下,S要成为R的子环，则要满足环的三条：. ｛S，+｝为版,+｝的子加群.• ｛S,.｝为0｝为子半群(R可将结合律传递给S )..&+,•冲满足左，右分配律(可R由传递给S )于是得到子环的等价定义：定义2’ .设。

邳u(R,+,.｝.如果S满足.(1) ｛s,+｝是｛r,+｝的子加群.(2) &.｝对乘法封闭.那么，称S是R的子环.若用数学语言来表达上定义则为定义2.设邳u｛r,+,.｝.如果S满足.⑴ Va, b e S , a — b e S (或 a + b e S 且—a e S )(2) Va, b e S , ab e S则称S是R的子环.设0^ S < R，可以定义R的子整环，子除环和子域：L S 是 R 的子整环 o ( i ) Va,b e S, a - b e S, ab e S .(ii ) &+,.｝是可变换的且1S e S(由)&+,. }中没有零因子.2、S是R的子除环 =(i ) Va, b g S, a - b w S, ab-1 w S -（ii） S obk且1s g s （或说 y 是个乘群）3、S是R的子域o S既是R的子整环也是R的子除环.例1.对于环R而言，零环混和R必是R的子环一一R的平凡子环.例2.偶数环2z是整数环的子环（但不是子整环）.例3.整系数多项式环Z是多项式环F的子环注意1：环R本身不是整环，但也许有子整环.环R本身不是除环（域）但可能有子除环（子域）.例4.设M （c）为复数域上的二阶级本环，显然M （c）不是整环，不2 2是除环，更不是域（不可变换，有零因子）但我们发现：S]={ 0 °J Vn g z )是M2(c)的子整环.2 = ( o J °仁g C.是M2(C)的子域.Va, p g C是M2(C)的子除环.例5. Z6为模6的剩余类环，而S = m\4i不仅是Z6的子环还是的 一个子域.（其中,“]=1 ,且EL-E]）S注意2:从例5中看到：z6中的单位元iz =h],而S中的单位元i =h].这表明子环中的单位元未必是扩环（母环）的单位元. S与群的子群的相比,子环具有许多“怪”性质.汇总起来，我们有结论1：设S是R的子环，那么：① R是幺环，S未必是幺环.② R不是幺环，S可能是幺环.③ R是变换环，S未必是变换环.④ R不能变换，S可能变换.⑤ R与S都是幺环,但它们的单位元未必一致.⑥ R是整环（除环、域），S未必是整环,（除环、域）.⑦ R不是整环（除环、域），但S可能是整环（除环、域）注意3:从上结论可知，在环与子环之间,单位元，变换性,环的类型都可能发生转变，而且以例5中知，零因子也会发生转变：E］在Z中是零因子，但E］在S中是可逆元. 6结论 2 .设R 为任意环，令 C（R）= ：a e R|Vx e R,ax = xa］则C（R）必是一个子环，叫做环R的中心.证明：0 e C（R） n C（R）^ 0. Va,b e C（R）,Vx e R . （a - b ）x = ax - bx = xa - xb = x（a - b）n a - b e C（R）.且abx = axb = xab n ab e:.C（R）是R的子环.（显然，C（R）是R的变换子环）可知：C（R）= R n R本身可变换.结论3.设R和R都是环，那么R Pl R是R和R的子环.（证明略）. 1 2 12 12将结论3进行推广知：设*/ = 1,2,3，…;是R的子环集,那么占S必是R的子环.ii=1二、环的同态定义3.设甲是环（r,+j到环R,+,：）的映射.如果甲满足：V（a + b）*（aE（b） .（a ・b） = cp（a）cp（b）则称甲是一个环同态映射.其中Va,b e R.如果甲是满射（单射、双射），则称甲为环同态满射（环同态单射, 环同构）.特别甲是环同态满射时，则称R与R同态，记为R ~ R.注意4：由上定义可知，一个环同态映射就是分别对环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这一点,可以自然地得到：定理1.设｛ "J和A,,｝都是代数体系，如果甲是A到A的满射且 有 Va, b e A..平（a = b ）*（a ）+ 甲 G ）甲（a, b ）*（a ）｛ a,+,.｝是环时，则A,孔弛必是环.卜面我们摩仿群论的讨论方式：考察环同态能传递一些什么代数性质.定理2.设R v R是环同态满射，那么：① 若O是R中的零兀n^O ）必是R的零兀.即 cp（OR）= OR.② 若1R是R的单位元ncpGJ必是R的单位元即.也）=1R,③ 一个负元的象必是象的负元，即M-a)=W(a)④ 若R可变换n R也可变换.证明：①& e R,中是满射n^ e R使平。

Z.于是 血确血乩)=尬/)*坎)*坎) 确实是R中零元.②战e R nBa e R使平Z.平1 无 /)=祯)=a,同理，apGjMfGR)= 1r.③中£+中(-a)=^(a-a)=^(0 )= O，同理，中(一a)+^(a)= O， :. ^(-a)= -^(a)•④ Va, b eR，则 3a, b e R 使 a *(a) b =^(b)故 ab *(aM)*(ab)*(ba)*(bM)=商ab = ba n R是变换环.显然环同态满射能传递许多代数性质，但也有一些是无法传递过去的.例6.设中:Z一Z6是环同态满射，其中：中)=房.显然Z是整环. ••• Z中没有零因子，但在Z6中，E］和b］＞ ［4］都是零因子.即：2显然不是Z中的零因子，但里G)=E］却是Z 6中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.例7.设R = ,：&,b)|Va,b e Z). .在R中定义运算：(a ,b )+(a ,b )=(a + a ,b + b )1 1 2 2 12 12(a ,b )a ,b )=(aa ,bb )1 1 2 2 12 12可以验证：R是一个环.现作一个对应：中:R — Z ,其中f（a, b）=a可以验证，中是一个环同态满射.由于（0,0） 是R中的零元，当a。

0且b0时.有（a,0）0,b）=（0,0）n R中有零因 子.而显然Z中没有零因子.这表明：零因子的象可能不是零因 子.由上知，环同态满射尚不能保证传递分部的代数性质.如 果甲是环同构时，其结果则不同了・定理3.若r和R都是环，且r唇，那么中不仅能传递所有的代数 性质，而且R是整环（除环，域）当且仅当R是整环（除环，域）.利用环同构的性质，可以得到下面一个有趣的事实.引理. 设｛r,+,.｝是一个环,而中:R — A是一个双射,其中a仅是 一个集合.那么，可以给集合A定义加法和乘法，使得甲成 为 R 至U A 的同构（即不同构）证明：任取a1,a2 e A.定义:a - a - ^ (xy) a a =^(x + y)1 2 1 2其中 火)=ai, My)= a 2所以 中G +y )= a + a =^G)+ My)中Gy)= a - a =^G)-^(y)又已知中是双射.由a ,a的任意性n R当A.-因R为环，由 定理1 n A也是环甲成了环同构.有了上引理，则可讨论环论中的“挖补定理”定理4.(??定理)设S是环R的一个子环，设B = R - S..又设s也是环且s兰s ,而bns = 0中.那么必存在另一个环r ,满 足①R三R,②S是R的子环.证明：为了方便，令s = k ,b ,c ...}.而S =t,b,C...}S S S S S S因S当S，则设中«)= R -又令 B = {a,b,c...}n R = (a ,b ,c a,b,c今令 R = a, b：, C：…|a, b, c ••(也就是说，对于b中的兀，f是怛等映射，对于S中兀，f是甲)其中 —x -» X—•'...,显然R卫R显然，f是满射.另一方面，Vx, y e R ,可分为三种情形逐一考虑(其中，x「y ).(i)若 x, y e B n 那么 f G)=x^ y = f (y)(迪 若x,y e S n f (x)=^(x), f (y)*(y) 中是同构映射....当 x 丰 y 时必有中(x)*(y) 中(x)*(y)(iii)若x e B，而 y e S 时 n f (x)= x，但 f (y)=Jy).因为B A S = 0, Wx e B,甲(y)e S n x。

甲(y)...f(x)^ f (y).总之，当xy时，n f (x工f (y)，.•. f是单射.综合上述n f : R - R为双射.由引理，因为r为环，则必可为R 定义加法和乘法，使R为环且R&R....①成立.下面得证②也成立，(即S是R的子环)现设R中的加法和乘法分别记为“ + ”和“：”，又s设与S中 的加法和乘法分别记为“ + ”和“•” .以下将证明若局限在S内，“ + ”与“ + ”，:与•是一致的.. 工旦———-Vx_, y_ e S 于是 x_ + y_ = Z_ e S，S S S S S则有x ,y和Z使中G )= r，中(y )= y:S S S S S s S于是，xi + 甬 *Gs)珂(yj=f (xs)+ f(ys)=f (xs + yj= fGs)=^Gs)=己 w+y~=己这表明在 s 中，加法“ + ”与“+”是一致的同理可证在s中“：”与“•”也是一致的所以F是R的子环，②成立。