2022年九年级数学下册二次函数知识点总结人教新课标版.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载人教版九年级数学下二次函数最全的中考学问点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地, 形如yax2bxc（ a, , 是常数,a0）的函数,叫做二次函数； 这里需要强调： 和一元二次方程类似,二次项系数a0,而 b,c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数yax2bxc的结构特点：x 的二次式,x 的最高次数是2．⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量⑵a, , 是常数,a是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式,其中；hb,k4 acab2. 2 a4axyax2；②yax2k二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：①③yaxh2；④yaxh2k；⑤y2bxc. 二次函数解析式的表示方法一般式：yax2bxxc （ a , b , c 为常数,a0）；x 轴两交点的横坐标）. 顶点式：ya xh〕2k （ a , h , k为常数,a0）；两根式：ya xx 1〕〔x 2〕（a0,1x ,x 是抛物线与留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 24 ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 2二次函数 y ax bx c 图象的画法2 2五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax bx c 化为顶点式 y a x h 〕 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0,c 、以及 0,c 关于对称轴对称的点 2h,c 、与 x 轴的交点 x ,0 , x ,0 （如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点） . 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 名师归纳总结 二次函数yax2的性质对称轴性质第 1 页,共 8 页a 的符号开口方向顶点坐标a0向上0,0y 轴x 0 时,y 随 x 的增大而增大； x 0 时,y随x 的增大而减小； x 0 时,y有最小值 0 ．a0向下0,0y 轴x 0 时,y 随 x 的增大而减小； x 0 时,y随x 的增大而增大； x 0 时,y有最大值 0 ．二次函数yax2c 的性质- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 的符号开口方向顶点坐标学习必备欢迎下载性质对称轴x 0 时, y 随 x 的增大而增大； x 0 时, y 随a 0 向上 0,c y 轴x 的增大而减小； x 0 时, y 有最小值 c ．x 0 时, y 随 x 的增大而减小； x 0 时, y 随a 0 向下 0,c y 轴x 的增大而增大； x 0 时, y 有最大值 c ．2二次函数 y a x h 的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质x h 时, y 随 x 的增大而增大； x h 时, ya 0 向上 h ,0 X=h 随 x 的增大而减小； x h时,y有最小值0．x h 时, y 随 x 的增大而减小； x h 时, ya 0 向下 h ,0 X=h 随 x 的增大而增大； x h 时, y有最大值 0 ．2二次函数 y a x h k 的性质a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质x h 时, y 随 x 的增大而增大； x h 时, ya 0 向上 h,k X=h 随 x 的增大而减小； x h 时, y有最小值 k ．a 0 向下 h,k X=h 随 x 的增大而增大； x h 时, y 随 x 的增大而减小；x h 时, y有最大值 k ． x h 时, y2抛物线 y ax bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号打算抛物线的开口方向： 当 a 0 时,开口向上； 当 a 0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x b . 特殊地, y 轴记作直线 x 0 . 2 a2b 4 ac b顶点坐标：（ , ）2 a 4 a顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数, 假如二次项系数 a 相同, 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 抛物线 y ax 2bx c 中, a , b , c 与函数图像的关系二次项系数 a2二次函数 y ax bx c 中, a作为二次项系数,明显 a 0．⑴ 当 a 0 时,抛物线开口向上, a 越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大；⑵ 当 a 0 时,抛物线开口向下, a 越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大．总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向, a的正负打算开口方向, a 的大小决定开口的大小．名师归纳总结 一次项系数b第 2 页,共 8 页在二次项系数a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴．⑴ 在a0的前提下,当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2 a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当b0学习必备欢迎下载时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧．2 a⑵ 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即当 b 0 时, b 0,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2 a当 b 0 时, b 0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a当 b 0 时, b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2 a总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置．总结：常数项 c⑴ 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶ 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来, c 打算了抛物线与 y轴交点的位置．总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法2 22 b 4 ac b公 式 法 ： y ax bx c a x , ∴ 顶 点 是2 a 4 a2（ b ,4 ac b ）,对称轴是直线 x b. 2 a 4 a 2 a2配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y a x h k 的形式,得到顶点为 〔 h , k 〕 ,对称轴是直线 x h . 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失 . 用待定系数法求二次函数的解析式一般式： y ax 2bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常挑选一般式 . 2顶点式： y a x h k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式 . 交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标 x 、 x 2 , 通 常 选 用 交 点 式 ：y a x x 1 x x 2 . 直线与抛物线的交点名师归纳总结 y轴与抛物线yax2bxc得交点为 〔0, c 〕. 第 3 页,共 8 页与 y 轴 平 行 的 直 线xh与 抛 物 线yax2bxc有 且 只 有 一 个 交 点〔 h ,ah2bhc〕. 抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数yax2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 、2x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点 ②有一个交点（顶点在0 抛物线与 x 轴相交； x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切； 抛物线与 x 轴相离 . ③没有交点0平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax2bxck的两个实数根 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一次函数ykxnk学习必备欢迎下载yax2bxca0的图像0的图像 l 与二次函数G 的交点, 由方程组ykxnc的解的数目来确定：①方程组有两组不同yax 2bx的解时 l 与 G 有两个交点 ; ②方程组只有一组解时方程组无解时 l 与 G 没有交点 . l 与 G 只有一个交点； ③AB抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc与 x 轴两交点为Ax 1,0,Bx2,0,由于1x 、x 是方程ax2bxc0的两个根,故x1x 2b,x 1x2caax 1x 2x 1x 22x 1x 224x 1x 2b24 cb2a4 acaaa二次函数图象的对称: 二次函数图象的对称一般有五种情。