分数阶傅里叶变换的离散算法-Ozaktas.ppt

离散分数阶Fourier变换(DFRFT)算法 FRFT 这篇文献发表于：作者：• 一、分数阶Fourier变换的定义• 二、分数阶与其他时频分析工具（ Wigner- Ville分布）的关系• 三、离散分数阶傅立叶变换的计算一、分数阶Fourier变换的定义二、分数阶傅里叶变换与Wigner-Ville分布• 首先，看一下Wigner-Ville分布是傅里叶变换经过一系列变换后变为由以上可得，等式的右边是 的Wigner-Ville分布， 左边是 的Wigner-Ville分布也就是说 的Wigner-Ville分布， 是由 的Wigner-Ville分布旋转а角得到• 所以分数阶Fourier变换有一个重要的 性质，分数阶Fourier变换是角度为α的 时频面旋转. 这个性质建立起分数阶 Fourier变换与时频分布间的直接联系, 并且为分数阶Fourier域理解为一种统 一的时频变换域奠定了理论基础, 同时 也为分数阶Fourier变换在信号处理领 域中的应用提供了有利条件tωuvαα三、离散分数阶傅立叶变换的计算• 目前DFRFT的四种离散化算法在这篇文献中，第二种，采用分解的方法。

1.第一种分解方法可以把以上改写为假定p∈[-1,1],经过量纲归一化的信号x(t）的分数阶傅里叶变换， 可以分解为以下三个步骤：（1）用chirp信号调制信号f(x):（2）调制信号与另一个chirp信号卷积:（3）用chirp信号调制卷积后的信号：式 1式 2式 3• 具体细节：第一步：将函数， 与线性调频函 数相乘(式1) • 注意，g(x)的频率带宽与时间带宽乘积可以是， f(x)的相应带宽乘积的两倍，所以要求g(x)的采 样间隔为1／(2Δx)如果，( )样本值的采样间 隔是1／Δ x，那么就需要对这些样本值进行插 值，然后再与线性调频函数的离散采样值相乘 ，以得到所希望的g(x)的采样 • 第二步：将g(x)与一线性调频函数作卷积式(式 • (2))注意，由于g(x)是带限信号，所以线性调 频函数也可以用其带限形式代替而不会有任何 影响2、第二种分解方法为了简化计算，人们提出更加有效的分解计算方法 假定x(t)的wigner-ville分布限定在以原点为中心，直径为Δx的 圆内若令 ，则与chirp信号乘积后的信号在频域具有带宽Δx可以用Shannon插值表示简要介绍一下Shannon 插值Shannon定理 到设信号，如果存在 ，使， ，则称是B频率截断的的，这时，只要采样间隔按间隔进行采样就不会损失信息，而且，可按如下公式构造原信号上式Shannon 插值公式。

利用采样序列3、MATLAB程序• function Faf = frft(f, a) • % The fast Fractional Fourier Transform • % input: f = samples of the signal • % a = fractional power • % output: Faf = fast Fractional Fourier transform • error(nargchk(2, 2, nargin)); • f = f(:); • N = length(f); • shft = rem((0:N-1)+fix(N/2),N)+1; • sN = sqrt(N); • a = mod(a,4);• % do special cases • if (a==0), Faf = f; return; end; • if (a==2), Faf = flipud(f); return; end; • if (a==1), Faf(shft,1) = fft(f(shft))/sN; return; end • if (a==3), Faf(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; return; end • % reduce to interval 0.5 2.0), a = a-2; f = flipud(f); end • if (a>1.5), a = a-1; f(shft,1) = fft(f(shft))/sN; end • if (a<0.5), a = a+1; f(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; end • % the general case for 0.5 < a < 1.5 • alpha = a*pi/2; • tana2 = tan(alpha/2); • sina = sin(alpha); • f = [zeros(N-1,1) ; interp(f) ; zeros(N-1,1)];• % chirp premultiplication • chrp = exp(-i*pi/N*tana2/4*(-2*N+2:2*N-2)'.^2); • f = chrp.*f; • % chirp convolution • c = pi/N/sina/4; • Faf = fconv(exp(i*c*(-(4*N-4):4*N-4)'.^2),f); • Faf = Faf(4*N-3:8*N-7)*sqrt(c/pi); • % chirp post multiplication • Faf = chrp.*Faf; • % normalizing constant • Faf = exp(-i*(1-a)*pi/4)*Faf(N:2:end-N+1);• function xint=interp(x) • % sinc interpolation • N = length(x); • y = zeros(2*N-1,1); • y(1:2:2*N-1) = x; • xint = fconv(y(1:2*N-1), sinc([-(2*N-3):(2*N-3)]'/2)); • xint = xint(2*N-2:end-2*N+3); • function z = fconv(x,y) • % convolution by fft • N = length([x(:);y(:)])-1; • P = 2^nextpow2(N); • z = ifft( fft(x,P) .* fft(y,P)); • z = z(1:N);。