2021版五年高考三年模拟A课标版理科数学9.3　椭圆及其性质(试题部分）.docx

9.3　椭圆及其性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.椭圆的定义及标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2019课标Ⅰ,10,5分求椭圆的方程余弦定理★★★2019课标Ⅲ,15,5分椭圆的定义和几何性质解方程组,余弦定理2.椭圆的几何性质2018课标Ⅱ,12,5分求椭圆离心率直线方程★★★2017课标Ⅲ,10,5分求椭圆离心率直线与圆的位置关系2016课标Ⅲ,11,5分求椭圆离心率线段中点坐标公式、三点共线3.直线与椭圆的位置关系2018课标Ⅰ,19,12分直线与椭圆的位置关系直线方程,斜率公式★★★分析解读　　从近5年高考情况来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,其中标准方程和几何性质考查较频繁,对直线与椭圆位置关系的考查,常与向量、圆、三角形等知识相结合,多以解答题的形式出现,解题时,要充分利用数形结合、转化与化归思想,注重数学思想在解题中的指导作用.本节主要考查学生数学运算、直观想象的核心素养.破考点 练考向【考点集训】考点一　椭圆的定义及标准方程1.(2018甘肃张掖一模,10)设A,B是椭圆C:x212+y22=1的两个焦点,点P是椭圆C与圆M:x2+y2=10的一个交点,则||PA|-|PB||=(　　)A.22 B.43 C.42 D.62答案　C　2.(2019广西玉林高中5月月考,14)已知点A(-2,0),B(2,0),点C在直线y=1上,满足AC⊥BC,则以A、B为焦点且过点C的椭圆方程为　　　　　　. 答案　x26+y22=13.(2020届四川南充顺庆月考,15)设点P是椭圆C:x28+y24=1上的动点,F为C的右焦点,定点A(2,1),则|PA|+|PF|的取值范围是　　　　　　　. 答案　[42-17,42+17]考点二　椭圆的几何性质1.(2019贵州黔东南州一模,3)椭圆x2+y28=1的离心率为(　　)A.144 B.78 C.104 D.18答案　A　2.(2020届河南天一大联考高三(上)段考,10)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴的两个端点为A、B,点C为椭圆上异于A、B的一点,直线AC与直线BC的斜率之积为-14,则椭圆的离心率为(　　)A.32 B.3 C.12 D.34答案　A　3.(2019安徽六安一中第二次模拟,14)已知椭圆x2tanα+y2tan2α+1=1,其中α∈0,π2,则椭圆形状最圆时的焦距为　　　　. 答案　2考点三　直线与椭圆的位置关系1.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆C:x22+y2=1,若一组斜率为14的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为(　　)A.-2 B.2 C.-12 D.12答案　A　2.(2020届陕西宝鸡渭滨月考,11)已知椭圆C:x28+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与椭圆C交于M,N两点,且MA=AN,若|OA|=|AF2|,则直线l的斜率为(　　)A.±1 B.±12 C.±13 D.±14答案　B　炼技法 提能力【方法集训】方法　求椭圆离心率或取值范围的方法1.(2019重庆巴蜀中学二诊,10)设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过F2的直线交椭圆于A,B两点,且AF1·AF2=0,AF2=2F2B,则椭圆E的离心率为(　　)A.23 B.34 C.53 D.74答案　C　2.(2018江西赣南五校联考,15)椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于　　　　. 答案　3-13.(2019云南昆明三中2月月考,15)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,则该椭圆离心率的取值范围为　　　　. 答案　(2-1,1)【五年高考】A组　统一命题·课标卷题组考点一　椭圆的定义及标准方程1.(2019课标Ⅰ,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)A.x22+y2=1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=1答案　B　2.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　. 答案　(3,15)考点二　椭圆的几何性质1.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(　　)A.23 B.12 C.13 D.14答案　D　2.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)A.63 B.33 C.23 D.13答案　A　3.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为　(　　)A.13 B.12 C.23 D.34答案　A　考点三　直线与椭圆的位置关系　(2018课标Ⅰ,19,12分)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解析　(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为1,22或1,−22.所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0,从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.B组　自主命题·省(区、市)卷题组考点一　椭圆的定义及标准方程　(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解析　(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,可得离心率ca=32.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=10.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故椭圆E的方程为x212+y23=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=12.因此直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故椭圆E的方程为x212+y23=1.解题关键　对于第(2)问,利用弦长及根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.考点二　椭圆的几何性质1.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2-y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为　　　　;双曲线N的离心率为　　　　. 答案　3-1;22.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解析　(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2−2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)解法一:连接F1Q,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则x02a2+y02b2=1,x02+y02=c2,求得x0=±aca2-2b2,y0=±b2c.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=aa2-2b2c+c2+b4c2=2(a2-b2)+2aa2-2b2=(a+a2-2b2)2.由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4。