公理化集合论的建立.doc

公理化集合论的建立　　集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦在 1900 年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了今天，我们可以说绝对的严格已经达到了然而这种自得的情绪并没能持续多久不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界这就是 1902 年罗素得出的罗素悖论罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R现在问 R 是否属于 R？如果 R 属于 R，则 R 满足 R 的定义，因此 R 不应属于自身，即 R 不属于 R；另一方面，如果 R 不属于 R，则 R 不满足 R 的定义，因此R 应属于自身，即 R 属于 R这样，不论何种情况都存在着矛盾这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。

绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中这就是数学史上的第三次数学危机危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去1908 年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称 ZF 公理系统原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论与此相对应，在 1908 年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论公理化集合论是对朴素集合论的严格处理它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去　　从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结　　它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。

　　超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一　　这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作　　康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一注：整系数一元 n 次方程的根，叫代数数如一切有理数是代数数大量无理数也是代数数如根号 2因为它是方程 x2-2=0 的根实数中不是代数数的数称为超越数相比之下，超越数很难得到第一个超越数是刘维尔于 1844 年给出的关于 π 是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世。