广东专插本高等数学-试卷50_真题(含答案与解析)-交互.docx

广东专插本（高等数学） - 试卷 50 ( 总分 44, 做题时间 90 分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1.y＝ ＋lg( χ＋ 2) 的定义域为 ( )SSS_SINGLE_SELA ( －2，＋∞) B (1 ，＋∞)C ( －2，－ 1] ∪[1 ，＋∞)D ( －2，－ 1)该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:C解析：由题有 即－ 2＜χ≤－ 1 或 χ≥ 1，故选 C． 2.若 f ′( χ 0 ) ＝－ 3，则 ＝ ( )SSS_SINGLE_SELA － 3B － 6C － 9D － 12该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:D2 2解析： 故选 D． 3.设∫f( χ)d χ＝χ ＋ C，则∫χ f(1 －χ )d χ＝ ( )SSS_SINGLE_SELA－ 2(1 －χ 2 ) 2 ＋CB2(1 －χ 2 ) 2 ＋C C－ (1 －χ 2 ) 2 ＋C D(1 －χ 2 ) 2 ＋C该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:C2 22 2 2解析：∫χ f(1 －χ )d χ＝－ ∫f(1 －χ )d(1 －χ ) ＝－ (1 － χ ) ＋C，故选 C．4.设 f( χ， y) 在点( χ 0 ， y 0 ) 处偏导数存在， ＝ ( )SSS_SINGLE_SELAf ′ χ ( χ 0 ，y 0 )Bf ′ y (2 χ 0 ， y 0 )C2f ′ χ ( χ 0 ， y 0 ) Df ′ χ ( χ 0 ， y 0 )该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:C解析： 故选 C． 5.如果 ＝ρ (u n ＞0，n＝1，2，⋯) ，则级数 u n 的收敛条件是 ( )SSS_SINGLE_SELA ρ＞ 1 B ρ≥1 C ρ＜ 1 D ρ≤1该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:C解析：由比值判别法可知：当 u n ＞0 时，若 所以级数 u n 的收敛条件是 ρ＜ 1，故选 C．2. 填空题1.函数 f( χ) ＝ 的极值为 ．SSS_FILL该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案: 正确答案： f(0) ＝1解析： f ′( χ) ＝2χ ，令 f ′( χ) ＝ 0 得 χ＝ 0，χ＜ 0，f ′( χ) ＜ 0；χ＞ 0，f ′( χ) ＞ 0，所以 χ＝ 0 为 f( χ) 的极小值点， f(0) ＝ 1．2.2已知 f( χ) ＝χ ln χ，χ＝ h(t) 满足条件 h(0) ＝3，h′(0) ＝ 7，则f[h(t)] ｜ t ＝ 0 ＝ ．SSS_FILL该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案: 正确答案： 7(6ln3 ＋3)解析： f ′( χ) ＝2χln χ＋χ， f[h(t)] ｜ t ＝0 ＝f ′[h(t)].h ′(t) ｜ t ＝0＝f ′(3).7 ＝ 7(6ln3 ＋3) ．3.b设 f( χ) 在[a ，b] 上满足 f( χ) ＞ 0，f ′( χ) ＜ 0，f 〞( χ) ＞ 0，令 S 1 ＝∫ af( χ)d χ， S 2 ＝f(b)(b － a) ，S 3 ＝ [f(b) ＋f(a)](b － a) ，则 S 1 ， S2 ， S 3 的大小顺序为 ．SSS_FILL该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案: 正确答案： S 2 ＜S 1 ＜S 3解析：由已知条件， f( χ) 在[a ，b] 递减，且是凹的， ∴0＜ f(b) ＜ [f(b)＋f(a)] ， ∴S 2 ＜S 3 ． 又 S 1 表示的是 χ＝a，χ＝ b， y＝f( χ) 与 χ 轴围成曲边梯形的面积， S 2 表示的是 χ＝ a，χ＝ b，y＝f(b) 与 χ 轴所围成矩形的面积， S 3 表示的是 χ＝ a，χ＝ b y ＝f( χ) 在 χ＝a 和 χ＝ b 两个端点连线，这三条直线所围成梯形的面积， ∴S 2 ＜S 1 ＜S 3 ．4.通解为 y＝C 1 cos2χ＋ C 2 sin2 χ(C 1 ， C 2 为任意常数 ) 的二阶线性常系数齐次微分方程为 ．SSS_FILL该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案: 正确答案： y〞＋ 4y＝0解析：由微分方程的通解为 y＝C 1 cos2χ＋ C 2 sin2 χ 知特征根为 λ＝22i ，则特征方程为 λ ＋ 4＝ 0，故微分方程为 y〞＋ 4y＝ 0．5.设 f( χ， y) ＝2χ＋ arcsin ，则 f χ (2 ，1) ＝ ．SSS_FILL该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案: 正确答案：解析：4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。

1.设 f( χ) ＝ 试确定常数 a，b 的值，使 f( χ) 在点 χ＝ 处可导．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:正确答案：由 f( χ) 的定义可知 f( χ) 分别在 ( －∞， ] 与( ，＋∞ ) 上连续，且导，且由 f( χ) 在点从而 a＝χ＝，进而由处连续知，可得．b＝由于 f( χ) 在 χ＝ 处可．2.求极限SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:正确答案：3.t设 z＝uv＋ sint ，而 u＝e ， v＝cost ，求 ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:t t t t正确答案： ＝ve － usint ＋cost ＝e cost －e sint ＋cost ＝e (cost －sint) ＋cost ．4.计算不定积分∫χ e 2χ dχ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:正确答案：5.平面图形 D是由曲线 y＝e χ 及直线 y＝e，χ＝ 0 所围成的，求平面图形 D绕χ 轴旋转一周所生成旋转体的体积．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:正确答案：如图，平面图形 D绕 χ 轴旋转一周所生成旋转体的体积为6.计算 dχdy，其中 D是由 y＝1，y＝χ， y＝2，χ＝ 0 所围成的闭区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:正确答案：积分区域如图所示7.求微分方程 y〞－ 2y′－ 3y＝0 的通解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:2正确答案：对应的特征方程为 r2 －2r －3＝0， 得特征根为 r 1 ＝3，r 2 ＝1－ 1，故齐次方程的通解为 y ＝C 8.判定级数 的敛散性．e 3χ ＋Ce - χ (C1 ，C 2为任意常数 ) ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:正确答案： ，故级数 发散．5. 综合题1.过点 P(1， 0) 作抛物线 y＝ 的切线，该切线与上述抛物线及 χ 轴围成一平面图形，求此图形绕 χ 轴旋转一周所成的旋转体的体积．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:22 2 2 2正确答案：设切线的斜率为 k，则切线方程为 y＝k( χ－ 1) ， 联立 得 kχ － (2k ＋1) χ＋ k ＋2＝0． 由于直线和抛物线相切，所以 (2k ＋ 1)2 2 2 2－ 4k (k ＋ 2) ＝0， 化简得 4k ＝ 1，联系实际解得 k＝ ． 又 k＝ y′＝ ， 解得 χ＝ 3，代日 y＝ ，得 y＝1，即切点坐标为 (3 ，21) ． 所以 V＝ 2π 1 2 －π∫ 3 ( χ－ 2)d χ＝ ．2.a设函数 y＝f( χ) 在区间 [a ，b] 上连续，且 f( χ) ＞ 0，F( χ) ＝∫ χ f(t)dt ＋∫ χa ，χ∈ [a ， b] ， 证明： (1)F ′( χ) ≥2； (2) 方程 F( χ) ＝ 0 在区间(a ，b) 内有且仅有一个实根．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答 : х 该问题分值 : 2答案:正确答案：∵ y＝f( χ) 连续，且 f( χ) ＞ 0，∴ ＞0， (1)F ′( χ) ＝f( χ)b＋ ≥2恒成立； (2)F(a) ＝ ＜ 0， F(b) ＝∫ a f(t)dt ＞ 0， ∴一定存在 ξ∈ (a ， b) ，使 F( ξ) ＝ 0， 又 F′( χ) ＞ 0，所以函数单调递增， ∴方程 F( χ) ＝ 0 在区间(a ，b) 内有且仅有一个实根．1。