初中数学竞赛辅导资料(32)中位线(共4页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上初中数学竞赛资料（32）中位线甲内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5. 有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑乙例题例1. 已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点求证：PM＝PN　（1991年泉州市初二数学双基赛题）证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F　　　　　　　　　　　　　　　　　∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据三角形中位线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　PE＝AC＝NF，PF＝AB＝ME　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　PE∥AC，PF∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　即∠PEM＝∠PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△PEM≌△PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴PM＝PN例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点。

求MN的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分析：N是BC的中点，若M是另一边中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则可运用中位线的性质求MN的长，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　辅助线是：延长CM交AB于E（证明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点求证：MN∥AB∥CD，MN＝（AB－CD）　　分析一：∵M是AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运用中位线的性质∴连结CN并延长交AB于E（如图1）证△BNE≌△DNC可得N是CE的中点证明略）分析二：图2与图1思路一样分析三：直接选择△ABC，取BC中点P连结MP和NP，证明M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质例4. 如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点　　　　　　　　　　　　　　　　求证：MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PNMP∥AB，MP＝AB，NP∥AC，NP＝AC∵BE＝CF，∴MP＝NP∴∠3=∠4=∠MPN＋∠BAC＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=， ∠2=∠3∴NP∥AC ∴MN∥AD　　　　　　证明二：连结并延长EM到G，使MG＝ME连结CG，FG　　　则MN∥FG，△MCG≌△MBE∴CG＝BE＝CF　∠B＝∠BCG　　　　　　　　　　　　　　　∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180∠CAD＝（180－∠FCG）∠CFG＝（180－∠FCG）=∠CAD 　∴　MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例5. 已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延长线于G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：FD＝CG　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明要点是：延长GE交AC于H，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　可证E是GH的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　过点E作EM∥GC交HC于M，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则M是HC的中点，EM∥GC，EM＝GC　　　　　　　　　　　　　　　　　　由矩形EFDO可得FD＝EO＝EM＝GC　　丙练习32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点　　　　　　　　　　　　　　　则①四边形EFGH是＿＿＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　②当AC＝BD时，四边形EFGH是＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　③当AC⊥BD时，四边形EFGH是＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④当AC和BD＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH是正方形形。

2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半3.已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，CA，AB的中点，证明顺次连结E，F，G，H　所成的四边形是等腰梯形4. 已知：经过△ABC顶点A任作一直线a,过B，C两点作直线a的垂线段　　　BB，和CC，，设M是BC的中点，求证：MB，＝MC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5.如图已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC求证BC＝DM＋EN6.如图已知：从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段AE，BF，CG，DH求证AE＋CG＝BF＋DH　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7.如图已知D是AB的中点，F是DE的中点，求证BC＝2CE8.平行四边形ABCD中，M，N分别是BC、CD的中点，求证AC平分MN9.已知△ABC中，D是边BC上的任一点，M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，MN的中点，求证直线PQ平分BD10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点O是AC和BD的交点，∠AOB＝60，P，Q，R分别是AO，BC，DO的中点，求证△PQR是等边三角形。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分∠BAC，求证：△ABC是Rt△12.已知：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O，∠BOD＝60，求证AD＝BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13.如图　已知：四边形ABCD中，AD＝BC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF　　　　　　　　　求证：∠DMN＝∠CNM　　　　　　　　　　　　　　　　　专心---专注---专业。