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第二章第二章 群的根本知识群的根本知识群论是研讨系统对称性的数学工具aABCD定定义：在元素集合：在元素集合G〔〔A, B, C, …〕中，定〕中，定义一种一种结合法那么〔群合法那么〔群乘〕〔乘〕〔combination, composition〕，〕，满足：足：〔〔1〕封〕封锁性：性：A∈∈G，，B∈∈G，那么，那么AB∈∈G〔〔2〕〕结合律：合律：A, B, C∈∈G, 那么那么(AB)C = A(BC)〔〔3〕集合中有〕集合中有单位元素位元素E∈∈G，使得，使得对于任何于任何A∈∈G，恒有，恒有EA=A〔〔4〕〕对于任何的于任何的A∈∈G，均存在逆元，均存在逆元A-1∈∈G，使得，使得A-1A=E §2.1 群的概念群的概念2.1.1 群的定群的定义义例如：例如： 构成一个群构成一个群 可以证明：AE=A；AA-1=E证明：1〕〔假设EA=A，必有AE=A〕 ∵假设 ∴ ∴ ， ∴证明：2〕左逆=右逆， 假定： 设 ∴ ∴证明：3〕 ∵ ，且 ∴证明：4〕群中的单位元素是独一的。

假定有两个单位元E1 和E2， 由 ，得 or 证明：5〕 〔逆元〕 且 〔单位元〕 ∴ 证明：6〕 试讨论以下集合能否构成群： 1 全体整数对于数的加法 2 全体实数对于数的乘法 3 模〔绝对值〕为1的复数全体对于数的乘法 4 么正矩阵的全体对于矩阵的乘法 5 三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘 2.1.2 群的种类群的种类定定义义：有限群中元素的数目称：有限群中元素的数目称为为群的群的阶阶〔 〔orderorder〕 〕 有限群〔finite group〕，群元个数有限离散群〔discrete group〕可数延续群〔continuous group〕不可数群 无限群〔infinite group〕，群元个数无限多定义：假设群元素之间的结合满足交换律：定义：假设群元素之间的结合满足交换律： ，那么该，那么该群称为群称为AbelAbel群，或对易群〔群，或对易群〔commutation Groupcommutation Group〕。

〕 1．重排定理〔．重排定理〔rearrangement theorem〕〔它对无限群不成立〕〕〔它对无限群不成立〕 设群设群 的阶为的阶为h. 假设假设 ，那么〔，那么〔Ai为为G中恣意元素〕中恣意元素〕 2.1.3 有限群的性质有限群的性质 即：AiG和GAi中每一元素不能一样且又是G中的元素，而共有h个群元，不能超越G的元素，那么AiG就是G证明：(1) 必出现 (2) x不能出现两次 假设 ， 得： ∴例：群例：群 符合四条群公理用其中恣意一个元素符合四条群公理用其中恣意一个元素乘整个群，所得到的依然为原来的群，只是次序有变乘整个群，所得到的依然为原来的群，只是次序有变r为满足此式的最小整数2．群元素的．群元素的级级 有限群有限群G，，A∈∈G 由于有限，由于有限， ∴∴必有必有 ，即，即 ∴∴ ，，r称称为该为该元素的元素的级级 级级和和阶阶是两个概念，但有是两个概念，但有时值时值可相等，可相等， 如如 中中 就是如此就是如此 定义：假设有限群G中的全部元素可由某个Ai的乘幂得到〔不一定要求每一个元素，只需找到一个便可〕，那么该群称为循环群〔cyclic group〕。

Ai ——该群的生成元定义：由群G的一个最小的群元的集合〔如Ai, Aj, …〕及乘法关系就可以构造出一个群这个最小的群元的集合中的元就称为群G的生成元〔generator〕 群乘关系称作生成关系2.1.4 群的乘法表群的乘法表 商定：表中元素是竖元素乘横元素，即 〔右因子〕〔左因子〕例：矩阵组例：矩阵组 按矩阵乘法构成一个群其乘法表为：  2.1.5 群的实例群的实例 1〕一阶群：〕一阶群：E，满足，满足 ，单位元素，单位元素2〕二阶群：〕二阶群： ，， 如如 一切二阶群的构造均一样一切二阶群的构造均一样 如宇称变换；全同粒子交换〔费米〕如宇称变换；全同粒子交换〔费米〕 生成元：生成元：A；；{A, A2}3〕三阶群：〕三阶群：一一阶、二、二阶、三、三阶群均是群均是AbelAbel群，也是循群，也是循环群 ∴三阶群独一能够的乘法表为：生成元：A；{A, A2, A3} B；{B, B2, B3} 独一能够 A2=B ； 同理 B2=A A2=A ？不行，否那么 A=E 又 A2=E ？不行，否那么 A=A-1 =B 独一能够 AB=E ，即 A=B-1, B=A-1 〔互逆〕 AB=B ？也不行，否那么 A=E讨论：AB=A ？不行， 否那么 B=E 是一个两阶群了。

例： 的三个根 1， 组成三阶群〔普通乘法〕 例；对称操作 〔即绕一固定轴转 〕也构成三阶群4〕四阶群〕四阶群: ——Abel ——Abel群群 ( (四四阶阶循循环环群群〕 〕生成元：A；{A, A2, A3, A4} C；{C, C2, C3, C4}ⅰ〕A，B，C中，一个自逆B，另两个互逆A，C乘法表示：, 绕某固定轴转 ⅱ〕A, B, C均为自逆， 〔留意，不能够有两个自逆〕 乘法表为： ——Klein四阶群 证明： 〔∵假设 或 ，那么 或 〕 同理 V ——Abel群〔四阶反演群〕生成元：A, B；{A, A2, B, AB} 5〕转动群：一切旋转轴相交于一点的全部延续转动，构成〕转动群：一切旋转轴相交于一点的全部延续转动，构成 延续群延续群原来的位置新位置6〕 〕置置换换群群〔 〔permutation group〕 〕 意意为为：：1换换成成1，，2换换成成2，，…，，n换换成成n ：：n个物体一切个物体一切这这种能种能够够置置换换的集合称的集合称为为置置换换群群 这这种群种群对对根本粒子的交根本粒子的交换对换对称性有用。

称性有用 例： ： 共 3！个群元素  留意：置换是先进展右边的置换，再进展左边置换，即从右到左例如：∴置换不满足交换律，是非Abel群坐标系上取固定的三点A', B'和C' ，变换前正三角形三顶点A1, B1和C1分别与A', B'和C'重合经变换， A1, B1和C1 的位置发生变化，但总是分别和 A', B'和C' 中的某一点重合 7〕正三角形对称群〕正三角形对称群 共共有有六六个个元元素素：：恒恒等等变变换换E，，绕绕三三角角形形中中0点点顺顺时时针针转转2 /3和和4 /3角角的的变变换换D和和F，，三三角角形形分分别别对对三三条条中中线线的的反反射射变变换换A，，B，，CyxCABA'(0,1)C3v的乘法表和S3一样 例如： 等 可以证明： C3v是非Abel群yxCABA'(0,1) 8〕 〕四元数群四元数群〔 〔guatermon〕 〕－－－－8阶阶群群 对对复数：复数： ，有两个，有两个单单位位 ，，—— 二元素。

二元素 定定义义四元素：四元素： 且且规规定：定：§2.2 子群子群〔 〔subgroup〕 〕，陪集，陪集〔 〔coset〕 〕，， 共厄元素共厄元素〔 〔conjugate〕 〕和和类类〔 〔class〕 〕2.2.1 子群子群定定义：：假假设某某群群中中的的一一部部分分元元素素的的集集合合按按原原来来的的给合合法法那那么么也也构构成群，成群，——子群 任何群的任何群的单位元素构成子群位元素构成子群 G的全体也构成的全体也构成G的子群的子群 →非真子群〔平庸子群〕真子群的条件真子群的条件: 1 存在存在单位元位元 2 恣意元素的逆元素也在恣意元素的逆元素也在这一子集内一子集内 3 恣意两元素的乘恣意两元素的乘积也在也在这一子集内一子集内例： C3v群中， 中 构成真子群 沿A轴反演顺时针赚120ºyxCABA'(0,1)例：实数〔加法〕，单位元为：0 有理数〔加法〕，单位元为：0 ↑子群 整数〔加法〕，单位元为：0 ↑子群 子群链 偶数〔加法〕，单位元为：0 ↑子群 2.2.2 陪集陪集 定定义：群中：群中G有一个子群有一个子群g{H1, H2, …, Hh}，有一群元，有一群元xG ，，集集合合xg={xH1, xH2, …, xHh}称称为g的的左左陪陪集集〔〔left coset〕〕，， gx={H1x, H2x, …, Hhx}称称为的右陪集〔的右陪集〔right coset〕〕. 注：注： 假假设 xg，那么，那么 xg=gx=g为子群本身。

子群本身 陪集能陪集能够是是G的一个子群，也能的一个子群，也能够不不够成群例： C3v群中，子群{E, D, F}只需一个陪集{A, B, C} 子群{E, A}对Ｂ的右陪集为{B, D} ，左陪集为{B, F} 对C的右陪集为{C, F} ，左陪集为{C, D}yxCABA'(0,1)定定理理: (1)子子群群g的的两两个个左左〔〔右右〕〕陪陪集集，，或或者者包包含含一一样的的一一组元元素素，，或者没有共同元素或者没有共同元素证：： 假假设：： ，那么有〔作，那么有〔作 〕〕 ∴∴ ∵∵ ，， ∴∴ ，， ∴∴ 即即 (2) 假设x不是g的一个元，那么gx (xg)不是一个群〔3〕G中的每一个元必然落在子群或某一个左〔右〕陪集中。

(4) 假设子群g的阶为h，G的阶为H，那么每一个左〔右〕陪集包含h个不同的元，即在集合gx (xg)的h个元中，没有一样的元存在5) 假设y是gx (xg)的元，那么， gy (yg)与 gx (xg)是一样的Lagrange定理：子群定理：子群g的的阶阶(h)必定可以整除整个群必定可以整除整个群G的的阶阶(H)证证：：假假设设g遍遍举举群群G的的全全部部元元素素，，那那么么h=H，，故故H/h=1；；假假设设不不能能遍遍举举,作作A1g，，且且A1g与与g无无共共同同元元素素假假设设g+A1g遍遍举举G一一切切元元素素，，那那么么H/h=2假假设设不不能能，，作作A2g，，且且它它与与g, A1g无无共共同同元素，假元素，假设设g+A1g+ A2g能遍能遍举举G，那么，那么H/h=3 由于是有限群，由于是有限群，总总有有G = g+A1g+ A2g+ Al-1g ∴∴ H/h=i (i为为子群的指数子群的指数〕 〕例：例：证证明：假明：假设设群的群的阶为阶为素数，那么素数，那么该该群必群必为为循循环环群 证证明：明：设设群的群的阶为阶为h，假，假设设某元素某元素A：：Ar=E，， 假假设设 r

留意：陪集并不构成群留意：陪集并不构成群 2.2.3 共厄元素和类共厄元素和类 定定义：：A, B, xG ，，假假设xAx-1=B，，那那么么称称B是是A的的共共轭元元素素〔〔conjuate〕性性质：：1〕共厄关系是相互的〕共厄关系是相互的 ∵∵ 2〕共厄关系具有〕共厄关系具有传送性送性 A, B, CG ，假，假设A, B分分别与与C共厄，共厄， 即即 那么那么A和和B共厄：共厄： 由由 ∴∴ 3〕任何元素与本身共厄：〕任何元素与本身共厄：定定义：：群群G中中相相互互共共轭的的元元素素所所构构成成的的集集合合称称为类〔〔class〕〕，，类中元素的数目称中元素的数目称为类的的阶 〔〔类似似变换的的 x( )x-1 中中的的 x 对类中中不不同同元元素素是是可可以以不不一一样的，的，x要取遍整个要取遍整个G〕〕 ∴∴ 只需只需给出出类中恣意一个元素就可求得中恣意一个元素就可求得类中一切元素中一切元素 单位元素位元素单独成一独成一类，，这是由于是由于xEx-1=E 普普遍遍地地，，假假设A1, A2, Ai, Aj, An是是一一类，，对任任一一xG，， xAix-1必定在必定在A1, An内，但它不构成群。

内，但它不构成群恣意x例：三点对称群有三个类： 1〕E自成一类，由于它与一切元素可对易 2〕D、F组成一类，因 3〕A，B，C组成一类，由于： 性性质：：1〕〕单位元素位元素E自成一自成一类 2〕〕Abel群的每个元素自成一群的每个元素自成一类 ∵∵ 3〕同一〕同一类中的一切元素都具有一中的一切元素都具有一样的的级 〔〔n是是A元素的元素的级，假，假设An=E〕〕 证：假：假设An=E ，那么，那么 4〕群〕群G的的阶h可以被共厄元素可以被共厄元素类的的阶l所整除：所整除： 即即 h/l = 整数 5〕不同的类中没有共同的元 6〕除单位元这一类外，其他各类都不是子群 〔由于无单位元〕 7〕对于矩阵群，同一类中的各元互为类似矩阵，因此，同类中各元具有一样的迹。

8〕假设C是群G的一个类，C是C中一切元的逆的集合，那么， C也是群G的一个类，称为C的逆类 定理：假设g为G的子群，A为G的恣意元素，那么AgA-1也是一个子群，称作群g的共轭子群〔 A 可以g 〕证：H1, H2 g ，作 ， 1〕封锁性： 2〕单位元素： 3〕逆元： 由于g中必有 ， ∴ g和AgA-1至少有一个单位元是共同的2.2.4 共轭子群〔共轭子群〔conjugate subgroup〕〕 和正规子群〔不变子群：和正规子群〔不变子群：nomal divisor〕〕 例：例： 其中，其中，E，，B构成子群构成子群 ，且：，且： ∴∴ 构成子群构成子群指包含有一样的元素定义：g是G的子群，对恣意AiG, 恒有AigAi-1=g，那么g称为G的不变子群或正规子群〔即子群一切的左陪集和相应的右陪集相等〕例： 是它的不变子群，这是由于：同理例：例： 其中，其中，E，，D，，F构成正规子群构成正规子群 阿贝尔群的一切子群都是不变子群。

指数为2的子群一定是不变子群2.2.5 同构〔同构〔isomorphism〕和同态〕和同态(homomorphism〕〕 定定义：：假假设群群G和和G的的一一切切元元素素间均均按按某某种种规律律存存在在一一一一对应关关系系，，它它们的的乘乘积也也按按同同一一规律律一一一一对应，，那那么么称称两两群群同同构即即 ：： 假假 设 R, SG; R, SG; RR, SS, 必必 有有RSRS，那么，那么GG “〞〞——一一一一对应，，“〞〞——同构同构 对G的的一一切切定定理理，，对G也也成成立立，，因因此此，，在在群群论中中，，一一切切同构的群均被看作同一群同构的群均被看作同一群例：一切二阶群都同构于二阶反演群例：一切二阶群都同构于二阶反演群V2例：正三角形对称群例：正三角形对称群C3V和和S3有一样乘法表，因此互一样构有一样乘法表，因此互一样构例：例： 其中，其中，E，，B构成子群构成子群 ，共轭子群，共轭子群AgA-1为为 两者同构两者同构子群g和它的共轭子群AgA-1是同构的定定义义：：假假设设群群G的的任任一一个个元元素素A都都独独一一地地对对应应于于群群G 的的一一个个元元素素 A , 而而群群G 中中的的一一个个元元素素对对应应于于群群G的的元元素素不不只只一一个个，，并并且且假假设设对应于对应于AB=C，就有，就有A B =C ，那么称，那么称G 同态于同态于G，记为，记为 G G。

即即例： 其中 称为同态对应的核coreG GG中与G中单位元E对应的那些元称为这一同态关系的同态核同态定理：同态定理： 假假设设G G，，分分别别与与G 中中单单位位元元相相对对应应的的G中中元元素素的的集集合合H构构成成群群G不变子群，不变子群， H称为同态对应的核称为同态对应的核 证明：〔1〕假设 那么 ，即对 ，因此是群G的子群〔2〕假设 那么这就是说所以P是G的正规/不变子群2.2.6 商群〔商群〔quotient group〕〕 定义：对于集合定义：对于集合S〔不一定是群〕分成集合〔不一定是群〕分成集合 假设假设 ，， ，那么恒有，那么恒有 ，这种分解称为正，这种分解称为正那么分解〔那么分解〔regular resolution〕〕 定理：群G按照正规子群g及其陪集的分解是一种正那么分解。

证： 定义：将群G按照正规子群g进展正那么分解〔陪集〕,所得到的元素集合〔即g及其一切陪集〕当作元素，那么称这样元素的集合为G按g分解所得的商群 正规子群左右陪集相等证明：商群也构成群证明：商群也构成群证：设群证：设群G按按g划分成商群的元素：划分成商群的元素： 1．封锁性：．封锁性： 2．单位元：．单位元： 3．逆元：令．逆元：令 ，那么，那么 4．组合律：．组合律： 同理：同理： 例：例： C6群同态于C2，g为 是同态的核，且可以证明：g是一个正规子群 假设以g来划分G，得两阶商群： 且 同构绕6次轴：不转和转2为E，转2/6为C6，转2/3为C62，转为C63，转4/3为C64，转5/3为C65GG映照fC2直积封锁性要求§2.3 §2.3 群的直群的直〔 〔接乘接乘〕 〕积积 定义：设ga〔阶为h〕和gb〔阶为k〕为群G的两个子群，它们之间元素之积可对易，即：aiga, bjgb，有 那么按群G的乘法得到的hk个元素{aibj}也构成一个群，称为ga和gb的直积群，记为： ， ga和gb称为直积因子。

证：封锁性： 逆元： 单位元： 显然： 并是G的一个子群  *直积群的不同直积因子〔如ai, bi等〕的元素是相互对易的，但同一个直积因子中的元素可不对易〔如ai, aj等〕 *直积因子ga和gb都是直积群 的正规子群 取其共轭元 令 那么 ∴ gb是 的正规子群 同理，ga也是 的正规子群。