高中数学定稿参考答案福州市2021年高中毕业班综合质量检测数学.pdf

数学参考答案与评分细则（第 1 页 共 8 页） 2021 年 3 月福州市高中毕业班质量检测 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1C 2B 3B 4A 5D 6C 7D 8C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 9AC 10ABD 11BCD 12BCD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 132 4 ， 145 1525 1612 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17. （本小题满分 10 分） 【命题意图】本小题主要考查等比数列、na与nS的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分 【解答】 （1）选，即21nnSa （）则 当1n 时，1121Sa，故11a ； 1 分 当2n时，1121nnSa， （） （） （）两式相减得12nnaa， 3 分 所以 na为等比数列，其中公比为 2，首项为1 4 分 所以12nna 5 分 选，即1211,log21nnaa an 所以当2n时，2121loglog2nnnna aaa， 1 分 数学参考答案与评分细则（第 2 页 共 8 页） 即114nnaa， 2 分 所以21ka（*kN）为等比数列，其中首项为11a ，公比为 4， 所以2111211 42kkka 3 分 由12121,log1aa a ，得22a ， 同理可得，1212242kkka （*kN） 4 分 综上，12nna 5 分 选，即212nnnaa a，23S ，34a 所以 na为等比数列，设其公比为q， 1 分 则121134aqa q ，解得112aq ，或192.3aq ， 3 分 又因为 na为单调数列，所以0q，故112aq ， 4 分 所以12nna 5 分 （2）由（1）知，12nnnan， 所以2211223 2122nnnTnn ， 6 分 221222222122nnnnTnnn， 7 分 两式相减得221122222nnnnTn 8 分 212nnn 9 分 所以121nnTn 10 分 18. （本小题满分 12 分） 【命题意图】 本小题主要考查解三角形等基础知识； 考查推理论证能力、 运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 【解答】解法一： （1）因为coscosabcBbC， 由正弦定理得sinsin= sincossincosABCBBC， 2 分 因为sinsin sinBCAA， 所以sin+sinsincossincosBCBCBBC， 3 分 所以2sincossin0BCB， 4 分 因为0,B，所以sin0B ，所以1cos2C ， 5 分 数学参考答案与评分细则（第 3 页 共 8 页） 又0,C，所以23C . 6 分 （2）因为CD是ABC的角平分线，且23C ， 所以3ACDBCD 7 分 在ABC中，ABCACDBCDSSS，则由面积公式得 1211sinsinsin232323CA CBCA CDCD CB， 10 分 即CA CBCA CDCD CB. 11 分 两边同时除以CA CB CD得111CACBCD. 12 分 解法二： （1）因为coscosabcBbC， 由余弦定理得22222222acbabcabcbacab， 2 分 整理得22222a abcb，即2220abcab， 3 分 所以12cos0abC， 4 分 所以1cos2C ， 5 分 又0,C，所以23C . 6 分 （2）因为CD是ABC的角平分线，且23C ， 所以3ACDBCD 7 分 在ABC中，由正弦定理得 2sinsinsin3CACBABBA， 8 分 即sinsinsinsin33CACBADDBBA 9 分 同理在CAD和CBD中，得 sinsin3CDADA，sinsin3CDDBB， 所以sinsinsinCACDCDBAB，即sinsinCACDCDBA， 10 分 数学参考答案与评分细则（第 4 页 共 8 页） 故CACDCDCACB，即1+CDCDCBCA， 11 分 故111CACBCD 12 分 19. （本小题满分 12 分） 【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 【解答】 （1）依题意，四边形11ACC A为等腰梯形，过11AC，分别引AC的垂线，垂足分别为D E，则1111111212222ADACACAA，故160A AC 在1ACA中，22222111112cos122 1 232ACA AACA A ACA AC ， 所以22211ACA AAC，故190AAC，即11ACAA 2 分 因为11ACAB ABAAA，且1AB AA ，平面11ABB A， 所以1AC 平面11ABB A， 4 分 因为1AC 平面11ACC A， 所以平面11ACC A 平面11ABB A 5 分 （2）因为11ABACACAB ACACC，且1ACAC ，平面11ACC A， 所以AB 平面11ACC A，结合（1）可知1AB ACAD，三条直线两两垂直 6 分 以A为原点，分别以1AB AC DA，的方向为x y z，轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则各点坐标为1130 0 01 0 00 2 0022ABCA， ， ， ， ，133022C， ， 7 分 由（1）知，11223300312233ACn， ，为平面11ABB A的法向量 8 分 1131 2 0022BCC C ， ， ， 设2x y zn， ，为平面11BCC B的法向量，则 数学参考答案与评分细则（第 5 页 共 8 页） 221BCC Cnn，故2212013022BCxyC Cyz nn，取22 33 1n， 10 分 所以1212123 11cos244nnnnn n， 11 分 设二面角1ABBC的大小为，则2115sin144 12 分 20. （本小题满分 12 分） 【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性满分 12 分 【解答】解法一： （1）依题意，2a 1 分 由椭圆的对称性可知，四边形1221AB A B为菱形，其周长为2244 3ab 3 分 所以1b ， 4 分 所以E的方程为2212xy 5 分 （2）设00P xy，则220022yx， 6 分 直线1AP的方程为0022yyxx，故00202yCx， 7 分 由12ADPA知1AD的方程为0022yyxx，故00202yDx， 8 分 假设存在0Q t，使得3QC QD，则 00002222yyQC QDttxx ， 2202022ytx 9 分 2202022xtx 21t 3 10 分 解得2t 11 分 所以当Q的坐标为2 0 ，时，3QC QD 12 分 解法二（1）同解法一 5 分 数学参考答案与评分细则（第 6 页 共 8 页） （2）当点P与点1B重合时，C点即101B，而点D即201B，假设存在0Q t，使得3QC QD，则 113tt ，即213t ，解得2t 6 分 以下证明当Q为2 0 ，时，3QC QD 设00P xy，则220022yx， 7 分 直线1AP的方程为0022yyxx，故00202yCx， 8 分 由12ADPA知1AD的方程为0022yyxx，故00202yDx， 9 分 所以00002222yyQC QDttxx ， 2202022ytx 10 分 2020242xx 11 分 4 1 3 12 分 说明：Q只求出2 0，或2 0 ，不扣分 21. （本小题满分 12 分） 【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 【解答】 （1）设恰好有 3 个股东同时选择同一款理财产品的事件为 A，由题意知，5个股东共有54种选择，而恰好有 3 个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为342435AAC种， 所以 1284545342435AACAP 4 分 （2）2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息为： 0.0168550500450100505012 550+50=11500.0 0144.692（万元） 6 分 由条件，高新项目投资可得收益频率分布表 数学参考答案与评分细则（第 7 页 共 8 页） 投资收益 t 320.020.13530 000 xxx 0 0.27x P 6 . 0 2 . 0 2 . 0 7 分 所以，高新项目投资所得收益的期望为： 32320.020.1350.600.20.20.270.000020.0120.02730000 xE txxxxxx 所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为： 3260.000 020.0120.0270.0365000.0184.6912L xxxxxx 320.000020.01222.69xx （0500 x ） 9 分 20.000 06400L xxx 令 0L x，得400 x ，或0 x 由 0L x，得0400 x ；由 0L x，得400500 x 11 分 由条件可知，当400 x 时， xL取得最大值为：400662.69L（万元） 所以当400 x 时，该公司 2021 年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值 662.69 万元 12 分 22. （本小题满分 12 分） 【解答】解法一： （1）依题意， 2 exfxx x，则 1 分 当, 20 +x ，时， 0fx；当2 0 x ，时， 0fx； 2 分 所以 f x在区间 , 20 + ， ，上单调递增，在区间2 0 ，上单调递减 3 分 因为24210ef ， 1e10f ， 所以 f x有且只有 1 个零点 5 分 （2）令 2e2ln1xF xxaxx，则 22e22 exxxxaa xFxx xxx（0 x） 6 分 若0a，则 0Fx， F x为增函数， 1e11e112ln1ln40242242Faa ，不合题意； 7 分 若0a，令 2e0 xh xxx，易知 h x单调递增，且值域为0 ，则存在00 x ，使得020exxa，即002lnlnxxa 8 分 数学参考答案与评分细则（第 8 页 共 8 页） 当00,xx时， 0Fx， F x单调递减； 当0 xx，时， 0Fx， F x单调递增 020000mine2ln1ln1xF xF xxaxxaaa ， 9 分 令 ln1aaaa， lnaa ， 当01a 时， ln0aa ；当1a时， ln0aa ； 所以 10a， 由 0F x 得 0a，所以1a 11 分 综。