电磁场与电磁波习题答案.doc

1第 二 章 2-1 若 真 空 中 相 距 为 d 的 两 个 电 荷 q1 及 q2 的 电 量 分 别为 q 及 4q， 当 点 电 荷 位 于 q1 及 q2 的 连 线 上 时 ， 系 统 处于 平 衡 状 态 ， 试 求 的 大 小 及 位 置 解 要 使 系 统 处 于 平 衡 状 态 ， 点 电 荷 受 到 点 电 荷 q1 及q2 的 力 应 该 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 ， 即 那 么 ，qF21由 ， 同 时 考 虑 到 ， 求 得1202104rrqr drdd3 ,321可 见 点 电 荷 可 以 任 意 ， 但 应 位 于 点 电 荷 q1 和 q2 的 连 线q上 ， 且 与 点 电 荷 相 距 12-2 已 知 真 空 中 有 三 个 点 电荷 ， 其 电 量 及 位 置 分 别 为 ：)0,1( ,4 , ,33221PCq试 求 位 于 点 的 电 场强 度 解 令 分 别 为 三 个 电 电 荷 的 位 置 到 点 的321,r 321,P距 离 ， 则 ， ， 223r利 用 点 电 荷 的 场 强 公 式 ， 其 中 为 点 电reE204qr荷 q 指 向 场 点 的 单 位 矢 量 。

那 么 ，P在 P 点 的 场 强 大 小 为 ， 方 向 为1 0210184rq习 题 图 2-2zx 1q23PE3 E2E12zyree211在 P 点 的 场 强 大 小 为 ， 方 向 为2q 020214rqEzyxr ee312在 P 点 的 场 强 大 小 为 ， 方 向 为3q 0230341rqEyre3则 点 的 合 成 电 场 强 度 为   zeeeEyx 3128413281312 02-3 直 接 利 用 式 （ 2-2-14） 计 算 电 偶 极 子 的 电 场 强 度 解 令 点 电 荷 位 于 坐 标 原 点 ， 为 点 电 荷 至 场 点 Pqrq的 距 离 再 令 点 电 荷 位 于 + 坐 标 轴 上 ， 为 点 电 荷z1r至 场 点 P 的 距 离 两 个 点 电 荷 相 距 为 ， 场 点 P 的 坐q l标 为 （ r, ,） 根 据 叠 加 原 理 ， 电 偶 极 子 在 场 点 P 产 生 的 电 场 为3104rqE考 虑 到 r >> l， = er， ， 那 么 上 式 变 为1 cos1lrrr e210210 )(44式 中 2122121 coscos rlrlr以 为 变 量 ， 并 将 在 零 点 作 泰 勒 展 开 。

rl12csl3由 于 ， 略 去 高 阶 项 后 ， 得rlcos1cos121 rlrl利 用 球 坐 标 系 中 的 散 度 计 算 公 式 ， 求 出 电 场 强 度 为 θreeE 303020 4sin2cs1cos4 qllrrlq  2-4 已 知 真 空 中 两 个 点 电 荷 的 电 量 均 为 C， 相 距 为612cm， 如 习 题 图 2-4 所 示 试 求 ： ① P 点 的 电 位 ； ② 将电 量 为 C 的 点 电 荷 由 无 限 远 处 缓 慢 地 移 至 P 点 时 ，610外 力 必 须 作 的 功 解 根 据 叠 加 原 理 ， 点 的 合 成 电 位 为PV105.2460rq因 此 ， 将 电 量 为 的 点 电 荷 由 无 限 远 处 缓 慢 地 移 到C126点 ， 外 力 必 须 做 的 功 为PJ5qW2-5 通 过 电 位 计 算 有 限 长 线 电荷的 电 场 强 度  1cmP1cmq q1cmr习 题 图 2-4习 题 图 2-5r0Pzzodll124解 建 立 圆 柱 坐 标 系 。

令 先 电荷 沿 z 轴 放 置 ， 由 于 结 构 以 z 轴 对 称 ， 场 强 与 无 关 为 了 简 单 起 见 ， 令 场 点 位 于 yz 平 面 设 线 电 荷 的 长 度 为 ， 密 度 为L， 线 电 荷 的 中 点 位 于 坐 标 原l点 ， 场 点 的 坐 标 为 Pzr,2利 用 电 位 叠 加 原 理 ， 求 得 场 点的 电 位 为 20d4Llrl式 中 故20rlzr220 202ln4 lrLzzrlzL因 ， 可 知 电 场 强 度 的 z 分 量 为E 2202ln4rLzzzlz  220 114rLzrLzl y5 220114rLzrLzrl 22204LzrLzrl120sinirl电 场 强 度 的 r 分 量 为 2202ln4rLzzrrElr   2204 rLzzrLzl22rzzrz  220 114 rLzrLzrzrl 2211rLzrLzrz6  12120 tantatn14rl 222tan1tan1t110coscs4rl 210ol式 中 ， 那 么 ， 合 成 电 强 为tanrc ,tanrc21 LzLzrzlr eeE12120 cossii4当 L时 ， ， 则 合 成 电 场 强 度 为 ,21rle0可 见 ， 这 些 结 果 与 教 材 2-2 节 例 4 完 全 相 同 。

2-6 已 知 分 布 在 半 径 为 a 的 半 圆 周 上 的 电 荷 线 密 度， 试 求 圆 心 处 的 电 场 强 度 0,sin0l习 题 图 2-6ayxoldE7解 建 立 直 角 坐 标 ， 令 线 电 荷 位 于 xy 平 面 ， 且 以 y 轴 为对 称 ， 如 习 题 图 2-6 所 示 那 么 ， 点 电 荷 在 圆 心 处ld产 生 的 电 场 强 度 具 有 两 个 分 量 Ex 和 Ey 由 于 电 荷 分 布 以y 轴 为 对 称 ， 因 此 ， 仅 需 考 虑 电 场 强 度 的 分 量 ， 即sin4dd20aly考 虑 到 ， 代 入 上 式 求 得 合 成 电 场 强 度sin,0lal为 yy aaeeE0028dsi42-7 已 知 真 空 中 半 径 为 a 的 圆 环 上 均 匀 地 分 布 的 线 电 荷 密度 为 ， 试 求 通 过 圆 心 的 轴 线 上 任 一 点 的 电 位 及 电 场 强 度 l解 建 立 直 角 坐 标 ， 令 圆 环 位 于 坐 标 原 点 ， 如 习 题 图 2-7所 示 。

那 么 ， 点 电 荷 在 z 轴 上 点 产 生 的 电 位 为ldPrl04根 据 叠 加 原 理 ， 圆 环 线 电 荷 在 点 产 生 的 合 成 电 位 为习 题 图 2-7xyzProa dly8 202020d4d41 zalrlrz lala 因 电 场 强 度 ， 则 圆 环 线 电 荷 在 点 产 生 的 电EP场 强 度 为 2320zazlze2-8 设 宽 度 为 W， 面 密 度 为 的 带 状 电 荷 位 于 真 空 中 ，S试 求 空 间 任 一 点 的 电 场 强 度 解 建 立 直 角 坐 标 ， 且 令 带 状 电 荷 位 于 xz 平 面 内 ， 如 习题 图 2-8 所 示 带 状 电 荷 可 划 分 为 很 多 条 宽 度 为 的 无xd限 长 线 电 荷 ， 其 线 密 度 为 那 么 ， 该 无 限 长 线 电 荷xsd产 生 的 电 场 强 度 与 坐 标 变 量 z 无 关 ， 即reEs02式 中 yxryxrr eee1习 题 图 2-8xyz2w2xdoryxwdxx(a) (b)P(x,y)9得 yxyxs eeE202dd那 么 sw yx202  ywxyywxss 2arctnarctn2ln4020 x ee2-9 已 知 均 匀 分 布 的 带 电 圆 盘 半 径 为 a， 面 电 荷 密 度为 ， 位 于 z = 0 平 面 ， 且 盘 心 与 原 点 重 合 ， 试 求 圆 盘S轴 线 上 任 一 点 电 场 强 度 。

E解 如 图 2-9 所 示 ， 在 圆 盘 上 取 一 半 径 为 ， 宽 度 为r的 圆 环 ， 该 圆 环 具 有 的 电 荷 量 为 由 于 对rd sqd2称 性 ， 该 圆 环 电 荷 在 z 轴 上 任 一 点 P 产 生 的 电 场 强 度 仅的 有 分 量 根 据 习 题 2-7 结 果 ， 获 知 该 圆 环 电 荷 在rzP 产 生 的 电 场 强 度 的 分 量 为2320ddzrEsz那 么 ， 整 个 圆 盘 电 荷 在 P 产 生 的 电 场 强 度 为 200232dazrzszasz ee习 题 图 2-9oxyzrdrP(0,0,z)102-10 已 知 电 荷 密 度 为 及 的 两 块 无 限 大 面 电 荷 分 别SS位 于 x = 0 及 x = 1 平 面 ， 试 求 及 区 域10 ,x0中 的 电 场 强 度 解 无 限 大 平 面 电 荷 产 生 的 场 强 分 布 一 定 是 均 匀 的 ， 其 电 场方 向 垂 直 于 无 限 大 平 面 ， 且 分 别 指 向 两 侧 。

因 此 ， 位 于 x = 0 平 面 内 的 无 限 大 面 电 荷 ， 在 x 0 区 域 中 产 生 的 电 场 强 度11Exe 位 于 x = 1 平 面 内 的 无 限 大 面 电 荷 ， 在 x x S1 区 域 中 产22Exe生 的 电 场 强 度 2xeE由 电 场 强 度 法 向 边 界 条 件 获 知 ，010xs 020xsE即 sE1s由 此 求 得 021s根 据 叠 加 定 理 ， 各 区 域 中 的 电 场 强 度 应 为 0 ,2121  xExxeE1 ,02121 sxx ,2121 xxe2-11 若 在 球 坐 标 系 中 ， 电 荷 分 布 函 数 为bra 0,1 ,6试 求 及 区 域 中 的 电 通 密 度 r , D11解 作 一 个 半 径 为 r 的 球 面 为 高 斯 面 ， 由 对 称 性 可 知reDs24dq式 中 q 为 闭 合 面 S 包 围 的 电 荷 那 么在 区 域 。